Vektorrechnung: Gleichungssystem lässt sich nicht lösen.

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Lumi Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung: Gleichungssystem lässt sich nicht lösen.
Hallo bin neu hier im Board und falls ich was falsch mache dann entschuldige ich mich schon einmal im vorraus.

Ich habe ein Problem bei Vektorenrechnung.

Die Punkte A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0) sind die Eckpunkte der Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide.
Ich muss als erstes die Normalenform ermitteln. Dies wollte ich mittels eine Gleichungssystems durchführen. Allerdings bleibt dabei immer einer Variable übrig da der Punkt A nur 0 für x,y und z hat.

E:

Das Gleichungssystem würde in etwa so aussehen:

I: x = 8r + 8s
II: y = 0r + 8s
III: z = 0r + 0s

Zu erst eliminiere ich s:

I - II = I*: x - y = 8r

Jetzt muss ich noch z unterbringen was aber unmöglich ist da immer eine Variable übrig bleibt.
Z.B.:

I + III = II*: x + z = 8r + 8s

Wenn ich jetzt das s nicht hätte wäre alles kein Problem da ich dann III* bilden könnten:

I* - II* = III*

Allerdings geht das ja nich da s noch da ist und außerdem würde ich x eleminieren was ja auch nicht mein Plan ist.

Bitte helft mir und sagt mir wo mein Denkfehler stekt.
Danke im vorraus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung: Gleichungssystem lässt sich nicht lösen.
Zitat:
Original von Lumi
Das Gleichungssystem würde in etwa so aussehen:

I: x = 8r + 8s
II: y = 0r + 8s
III: z = 0r + 0s

Also ich verstehe nicht, was du machen willst, welchen Ansatz du verfolgst und was das mit diesem GLS zu tun hat.

Das ganze scheint mir aber eher Schulmathe zu sein.
corvus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung: Gleichungssystem lässt sich nicht lösen.
.
Zitat:
Die Punkte A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0) sind die Eckpunkte
der Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide.

Ich muss als erstes die Normalenform ermitteln.

kannst du erkennen, dass alle Punkte in der xy-Ebene liegen ?
ja?
dann bist du doch schon fertig :
die gesuchte Gleichung der Ebene ist z=0

alles klar?
Lumi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche eine Gleichung der Ebene E als Normalenform anzugeben.
Um dies zu tun hab ich als erstes eine Parametergleichung der Eben erstellt.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung: Gleichungssystem lässt sich nicht lösen.
Du suchst einen Vektor, der senkrecht auf den beiden Spannvektoren der ebene steht, dies ist nicht genau ein Vektor, sondern eine Gerade, also jedes beliebige vielfache eines Vektors.
parametrisiere in deinem LGS einfach eine Variable.
du suchst einen Vektor, der auf den beiden Vektoren (8,0,0) und (8,8,0) senkrecht steht, also gilt es mit dem Cosinussatz das LGS
8x_1+0x_2+0x_3=0
8x_1+8x_2+0x_3=0
zu lösen.
wähle x_3 beliebig, aus der ersten gleichung folgt x_1=0, aus der zweiten Gleichung folgt x_1=-x_2, also x_2=0 und du hast den vektor (0,0,x_3), also x_3*(0,0,1), und das ist die gerade, die auf den beiden spannvektoren senkrecht steht, für alle x_3.
Lumi Auf diesen Beitrag antworten »

verstehe nicht wiso du x_3 f reiwälen kannst.
Den rest habe ich Verstanden.
 
 
corvus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lumi
verstehe nicht wiso du x_3 f reiwälen kannst.
Den rest habe ich Verstanden.
.. du kannst den z-Wert nicht frei wählen

wie du oben nachlesen könntest, gilt für deine Ebene die Gleichung z=0 Wink

das x_3 da oben sagt , dass du von einem Normalenvektor der Ebene z=0,
also zB vom Vektor (0.0,1) ein beliebiges Vielfaches nehmen kannst und
du hast immer noch einen Normalenvektor (nur länger oder kürzer) zu z=0

^
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

fragen wir mal andersherum wie willst du ein LGS mit drei Variablen in zwei gleichungen anders lösen?
eine Variable bleibt mindestens immer drin, also setzte ich diese Variable gleich einem bestimmten wert, nennen wir ihn s, in unserem fall habe ich das nicht getan, aber mit x_3=s wird es vielleicht plausibler.
Lumi Auf diesen Beitrag antworten »

Also nochmal zum mitschreiben.

Die Punkte A(0|0|0), B(8|0|0), C(8|8|0), D(0|8|0) sind die Eckpunkte der Grundfläche einer geraden quadratischen Pyramide ABCDS mit der Höhe h = 6. M ist der Mittelpunkt der Kante CS, N der Mittelpunkt von DS. Die Ebene enthählt die Punkte A, B, M, N.
a) Zeichnen
b) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform an.
c) Prüfen Sie, ob alle Eckpunkte der Pyramide, die nicht in der Ebene E liegen, zu E den gleichen Abstand haben.
d) Zeigen Sie, dass das Viereck CDNM ein Trapez ist, und berchnen Sie dessen Flächeninhalt, indem Sie zunächst den Abstand der Geraden CD und MN bestimmen.
e) Unter welchem WInkel schneidet die Kante CD die Ebene E

a) habe ich gemacht.

b)

Lösungsweg:



und



Daraus folgt:
I: 8x_1 + 0x_2 + 0x_3 = 0
II: 8x_1 + 8x_2 + 0x_3 = 0

Aus der ersten Gleichung folgt x_1 = 0
Aus der zweiten Gleichung folgt x_1 = -x_2 (da x_1 = 0 gilt jetzt x_2 = 0)

und jetzt versteh ich euch nicht mehr.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich kann x_3 beliebig gewählt werden. Damit ist unter anderem der Vektor (0, 0, 1) ein Normalenvektor. Und wenn du deine Parametergleichung mit diesem Vektor skalra multiplizierst, was bekommst du dann raus?
rwa Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Normalenform der Grundfläche zu bestimmen musst Du gar nichts rechnen, Du siehst den Punkten A, B, C und D ja schon an, wo sie liegen. Nämlich in der xy-Ebene. Nun ist die einfachste Art, eine Ebene mit Vektoren zu beschreiben, folgende Gleichung:

Wobei die Koordinaten des Vektors sind, der senkrecht zur Ebene steht. sind frei und bestimmt den Abstand der Ebene zum Nullpunkt (aber nur wenn ).

Wenn du nun prüfen willst, ob ein Punkt auf der Ebene liegt, kannst Du seine Koordinaten in die obige Gleichung einsetzen und schauen ob sie stimmt. Wenn sie stimmt, liegt dein Punkt in der Ebene. So einfach ist das. Definitiv Schulmathematik.
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