Aussagen über Folgen

11.01.2010, 15:52

DasTinchen

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Aussagen über Folgen

Hallo!

Könnte mir bitte jemand sagen ob folgende aussagen wahr sind? und wenn nicht, warum.

(1) Sei $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergent und $\begin{eqnarray*} x_n < C \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_n < C \end{eqnarray*}$ .

(2) $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ konvergiere nicht gegen x. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb N \forall n\geq n_0 : | x_n - x | \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ .

(3) Ist $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ Cauchyfolge, so gilt: $\begin{eqnarray*} \exists x \in \mathbb R \forall \epsilon \in \mathbb R^+\exists n_0 \in \forall n\geq n_0 : | x_n - x | < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

(4) Ist $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ beschränkt, so hat sie einen Häufungspunkt.

(5) Hat $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ einen Häufungspunkt, so ist $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Ich würde behaupten, dass (1),(2),(3) und (5) wahr sind.
bei (4) bin ich mir da allerdings nicht so sicher.

LG
Tinchen

11.01.2010, 15:54

Airblader

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Wie wärs, wenn du deine Vermutungen begründest?
Wir werden dir hier doch nicht deine Aufgabe vorrechnen.

Schon bei der (1) hast du dich vertan. Betrachte x_n = -1/n und C = 0.
Und bei der (3) kommts erstmal darauf an, ob du weißt, dass IR vollständig ist.

Edit: Sorry, die (2) passt sogar. Formal wäre die Negation zwar "für alle n0", aber dies impliziert auch, dass es "mindestens eins" gibt. Eine Äquivalenz ist hier ja nicht gemeint.

air

11.01.2010, 16:01

DasTinchen

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dazu gibts keine begründung...

die aussagen stehen so in der übung und nun so einfach nur gesagt werden... ob sie wahr oder falsch sind.

11.01.2010, 16:04

Airblader

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Aber du solltest eine Begründung haben. Um zu entscheiden, ob sie wahr oder falsch sind, musst du dir dazu doch etwas überlegen - oder siehst du es als Ratespiel?

Wenn du also willst, dass wir dir sagen, ob es stimmt - dann nenne auch deine Begründung.

Andernfalls ist auch meine Antwort nur, ob deine Antwort richtig oder falsch ist. Und wie du siehst, sind welche falsch!

Edit:
Im Übrigen verlangt ein Übungsblatt dafür auch immer eine Begründung, ohne, dass man die explizit dazusagen muss. Das hat eben den simplen Grund, dass, wenn du keine Begründung hast, du entweder abgeschrieben oder geraten hast - und beides ist nicht Sinn der Übung.

air

11.01.2010, 16:18

tmo

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Zitat:

Original von Airblader
Edit: Sorry, die (2) passt sogar. Formal wäre die Negation zwar "für alle n0", aber dies impliziert auch, dass es "mindestens eins" gibt. Eine Äquivalenz ist hier ja nicht gemeint.

Veto.

Jede Folge mit 2 Häufungspunkten ist ein Gegenbeispiel.

11.01.2010, 16:23

Airblader

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Ich ziehe meine Aussage zurück *peinlich berührt* unglücklich

unglücklich

Edit: Aber ganz stimme ich doch nicht zu. a_n = (-1)^n hat zwei Häufungspunkte, konvergiert nicht gegen x=0 aber es existiert e = 0.5 und n0 = 1.
Für alle n >= n0=1 gilt dann |a_n - x| = 1 >= 0.5 = e.

air

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11.01.2010, 16:35

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Zitat:

Original von Airblader
Edit: Aber ganz stimme ich doch nicht zu. a_n = (-1)^n hat zwei Häufungspunkte, konvergiert nicht gegen x=0 aber es existiert e = 0.5 und n0 = 1.
Für alle n >= n0=1 gilt dann |a_n - x| = 1 >= 0.5 = e.

Aber was ist mit x=1 ? Dagegen konvergiert die Folge auch nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2010, 16:38

Airblader

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Mein Einwand bezog sich darauf, dass "jede Folge mit zwei Häufungspunkten" ein Gegenbeispiel sei (unter der Annahme, ich darf das x dann noch frei wählen).

Klar ist:

(1) Die Aussage d. Aufgabe ist falsch (also meine erste (naja, eigentlich zweite) Antwort darauf)
(2) Zu jeder solcher Folge finde ich ein x, dass die Aussage falsch wird.

air

11.01.2010, 16:45

AD

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Anscheinend redest du über die Aussage

(2') $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist kein Häufungswert der Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb N \forall n\geq n_0 : | x_n - x | \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

welche in der Tat richtig ist. Aber (2) ist es nicht - überprüfe mal deine Logik. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2010, 16:53

Airblader

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Nein, ich rede von:

x_n konvergiere nicht gegen x, dann gilt: [..]

Dabei sehe ich das so: Die Folge und das x sind vorgegeben. Aber für ein geeignetes x kann die Aussage (2) dann durchaus auch für Folgen mit zwei Häfungspunkten stimmen (s.o.) - sie gilt aber nicht für alle möglichen x, gegen welche die Folge nicht konvergiert.

Für "beliebiges x" stimmt die Aussage also nicht (dagegen ja kein Einwand meinerseits). Lediglich die Aussage "Jede Folge mit zwei Häfungspunkten ist ein Gegenbeispiel" halte ich für nicht korrekt, wenn man nicht dazusagt "für ein geeignetes x".

Anmerkung: Das "überprüfe mal deine Logik" klang irgendwie nach "Denk mal logisch, Alter!" Big Laugh

Big Laugh

air

11.01.2010, 16:57

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Dann übergebe ich wieder an tmo - bin heute nicht in der Stimmung, hartnäckige Denkblockaden aufzudröseln.

11.01.2010, 17:01

Airblader

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Das sollte eigentlich auch keine große Sache werden.
Prinzipiell stimme ich tmo ja völlig zu. Er hat mich richtigerweise korrigiert und er meinte sicherlich auch das Richtige. Man kann es nur auch anders auslegen.

So oder so ändert es nichts daran, dass Aussage (2) falsch ist (denn die verlangt ja, dass x_n und x beliebig sind)

Edit:
Um das klarzustellen. Ich wollte hier nicht dafür argumentieren, dass (2) manchmal wahr sein kann und manchmal nicht. Das mag sein, ist aber irrelevant - die Aussage ist falsch, Punkt.
Mir ging es darum, dass das angeführte Allgemein-Gegenbeispiel nicht ganz korrekt war. Dass daraus nun eine größere Sache wurde war sicher nicht mein Ziel.
Vielleicht lassen wir es nun auch einfach bei "(2) ist falsch" stehen und der Autor überlegt sich selbst sein Gegenbeispiel (was nach tmo's Tip ja nicht mehr schwer sein sollte).

air

11.01.2010, 17:26

Eierkopf

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Zitat:

Original von tmo

Veto.

Jede Folge mit 2 Häufungspunkten ist ein Gegenbeispiel.

tmo hätte besser sofort gesagt, daas einer der HP's dabei x sein sollte. Das hätte den Rest erübrigt.
Ansonsten kann ich nachvollziehen, was Air mit der Beliebigkeit in x, also der Unabhängigkeit von den HP's meinte.

11.01.2010, 17:58

Mystic

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tmo hat gesagt

Zitat:

Original von tmo
Jede Folge mit 2 Häufungspunkten ist ein Gegenbeispiel.

und offenbar gemeint:

Zu jeder Folge mit 2 Häufungspunkten kann man ein x (nämlich einen der beiden Häufungspunkte) so finden, dass man damit ein Gegenbeispiel zu (2) erhält.

Airblader hat es offenbar so aufgefasst:

Zu jeder Folge mit 2 Häufungspunkten erhält man für eine beliebige Wahl von x ein Gegenbeispiel zu (2).

Kann man die Aussage von tmo in dieser Weise mißverstehen? Meine Meinung dazu: Sicher kann man, allerdings sollte man, einmal darüber aufgeklärt, wie das wirklich gemeint war, dann auch nicht weiter auf seinen Standpunkt beharren...

11.01.2010, 18:07

Airblader

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Oh man. Leute - ist es nicht langsam gut?
Es war nicht meine Absicht, tmo's Antwort "in der Luft zu zerreißen". Ich wollte lediglich darauf hinweisen, dass seine Antwort, in der Form, wie sie dastand, nicht völlig korrekt oder eindeutig war.
DasTinchen hat nichts von einem Allgemein-Gegenbeispiel, das in der Form nicht korrekt ist. Aber der Fehler ist klein und wenn ihr das mal genau lest, habe ich tmo durchaus Recht gegeben.

Muss es jetzt sein, dass wir hier weiß-Gott-wie-viele Antworten darüber schreiben? Ich wollte damit nicht eine solche Welle lostreten, sondern eine kleine Ungenaugikeit ausbügeln.

Also wäre es doch angebracht, die Sache nun einfach stehen zu lassen. Es sollte doch langsam klar sein, was tmo meinte und was ich meinte, oder?

@ Arthur
Sorry, aber was die PNs angehst verhälst du dich kindisch!

air

11.01.2010, 18:50

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Zitat:

Original von Mystic
Kann man die Aussage von tmo in dieser Weise mißverstehen? Meine Meinung dazu: Sicher kann man, allerdings sollte man, einmal darüber aufgeklärt, wie das wirklich gemeint war, dann auch nicht weiter auf seinen Standpunkt beharren...

Volle Zustimmung.

11.01.2010, 19:16

Airblader

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Mystic
Kann man die Aussage von tmo in dieser Weise mißverstehen? Meine Meinung dazu: Sicher kann man, allerdings sollte man, einmal darüber aufgeklärt, wie das wirklich gemeint war, dann auch nicht weiter auf seinen Standpunkt beharren...

Volle Zustimmung.

Wenn diese Aufklärung hatte stattgefunden.
Und das hat sie eher indirekt. Zu dem Zeitpunkt, als du von deinem (2') gesprochen hast, hatte ich dahinter noch nicht erkannt, dass du damit meintest, dass tmo darauf rauswollte, also war es kein "Aufklären".
Viel eher könnte man das alles eher auf sich beruhen lassen, wenn der kleine Einwand einmal ausgesprochen ist und dann mit dem Thema weiter verfahren werden kann.

Alles weitere kann ja dann aber im entsprechenden Thread (sofern dann noch vorhanden bzw. offen) diskutiert werden.
Und damit bin ich aus dem Thread hier raus Wink

Wink

air
(@ DasTinchen - sorry)

11.01.2010, 22:45

Eierkopf

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Zitat:

Original von Mystic

Kann man die Aussage von tmo in dieser Weise mißverstehen? Meine Meinung dazu: Sicher kann man, allerdings sollte man, einmal darüber aufgeklärt, wie das wirklich gemeint war, dann auch nicht weiter auf seinen Standpunkt beharren...

Wenn man darüber aufgeklärt ist, was einer möglicherweise meinte, als er gerade sagte, was er meinen könnte, ohne zu sagen, was er zu sagen in der Lage gewesen wäre, wenn er um eine gesicherte Antwort ersucht worden wäre, ja dann ist bald Dienstag.

Gruß

EiEi

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