Restklassenring/Körper

11.01.2010, 19:25

Alge-Bra

Restklassenring/Körper

Hallo, nochmal ich =p

Aufgabe:

"Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3[x]/(x²+[1]) \end{eqnarray*}$ ein Körper mit 9 Elementen ist"

Die Elemente sind ja noch recht einfach zu bestimmen:

Elemente lauten: $\begin{eqnarray*} \{0, 1, 2, x, x+1, x+2, 2x, 2x+1, 2x+2\} \end{eqnarray*}$

Damit es ein Körper ist müssen alle Elemente (mit Außnahme der Null) ein Inverses Element besitzen!

- Dann wäre meine erste Frage: Gibt es eine Methode jedem Element hier sein Inverses zuzuordnen, ohne es vorher auszuprobieren?

1 und 2 sind ja selbstinvers mit: 1*1=1 und 2*2=1
Die anderen habe ich jetzt so aus der Übung übernommen:
x*2x=1
(x+1)(x+2)=1
(2x+1)(2x+2)=1

Ich würde nochmal gerne ein Beispiel vorrechnen und ihr sagt mit, ob das so legitim ist :p:
Es ist: (2x+1)(2x+2) = 4x²+4x+2x+2 = 4x²+6x²+2 (mod 3) = x²+2 und jetzt mache ich es quasi immer so, dass ich (x²+1) - x²+2 = -1, also 1 rechne, sodass gilt:
(2x+1)(2x+2)=1
Ist das so ok? verwirrt

ABER: Bei x*2x ist mir schleierhaft, wie man auf 1 kommt...

11.01.2010, 19:32

Elvis

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$\begin{eqnarray*} (x^2+1) \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel, also ist der Restklassenring ein Körper, also alles ausser 0 invertierbar.
Dein Beispiel ist okay. Noch einfacher $\begin{eqnarray*} x^2+2=x^2+1+1=0+1=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \Rightarrow 2\cdot x^2=-1\cdot x^2=-x^2=1 \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 19:49

Alge-Bra

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Zitat:

Original von Elvis
$\begin{eqnarray*} (x^2+1) \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel, also ist der Restklassenring ein Körper, also alles ausser 0 invertierbar.
Dein Beispiel ist okay. Noch einfacher $\begin{eqnarray*} x^2+2=x^2+1+1=0+1=1 \end{eqnarray*}$

In dem Ring gilt also immer: (x²+1)=0, ja? und dann sagst du: x²+2 = x²+1+1= (x²+1)+1 und jetzt streicht man quasi die Klammer weg und es bleibt 1 über?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \Rightarrow 2\cdot x^2=-1\cdot x^2=-x^2=1 \end{eqnarray*}$

Hier ist mir irgendwie noch nicht geläufig, warum aus der 2 eine -1 wird und warum -x² =1 ist traurig

11.01.2010, 19:56

Elvis

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Bei der Rechnung modulo $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2+1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ das erzeugende Element des Hauptideals $\begin{eqnarray*} (f(x)) \end{eqnarray*}$ nach dem faktorisiert wird, also =0.

In $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ ist 2+1=3=0, also 2=-1
Genau so gilt $\begin{eqnarray*} x^2+1=0 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} x^2=-1 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} -x^2=1 \end{eqnarray*}$ . Das ist ein und dieselbe Gleichung, nur ein bißchen umgerechnet.

11.01.2010, 22:45

Mystic

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RE: Restklassenring/Körper
Du kannst dir die Sache mit der Arithmetik in diesem Körper sehr viel einfacher machen, indem du die Elemente als

$\begin{eqnarray*} \{0,1,2,i,1+i,2+i,2i,1+2i,2+2i\} \end{eqnarray*}$

anschreibst, wobei

$\begin{eqnarray*} i:=\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$

Du rechnest dann wie gewohnt mit den komplexen Zahlen, allerdings musst du immer den Real-und Imaginarteil mod 3 reduzieren, falls notwendig...

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