Schnittmenge von Vektorräumen

11.01.2010, 20:05	sar87	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge von Vektorräumen Hallo! Ich grübel jetzt schon seit längerem an folgender Aufgabe und komm einfach auf gar nichts: Aufgabe 1. Bestimmen sie ein v $\begin{eqnarray} \in \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ mit U $\begin{eqnarray} \cap \end{eqnarray}$ W = $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ * v, $\begin{eqnarray} \lambda \in \IR^4 \end{eqnarray}$ 2. Ergänzen Sie v zu Basen von U und W 3. Geben sie eine Basis von U+W an U={x \in \IR^4\| Ax=0 \}, W=\{x \in \IR^4\| Bx=0 \} $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 2 \end{pmatrix}<br /> <br /> B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 3 & -2 \\ 1 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie bestimme ich bei 1. die Schnittmenge eines Vektorraums? Das müsste ja die Teilmenge sein, die in beiden Räumen enthalten ist... aber wie kann man das bei Matrizen verstehen? 2. basiert ja dann auf 1., allerdings weiß ich hier nicht, wie ich zu einer Basis erweitere. Kann ich bei 3. einfach die Summe bestimmen (über Matrizenaddition) und davon die Basis bestimmen? Oder geht das nicht? Grüße, Sara
11.01.2010, 21:39	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösungsmengen der homogenen Gleichungssysteme Ax=0 und Bx=0 spannen Untervektorräume des R^4 auf, hier jeweils den Kern von A und B. Bestimme diese und prüfe dann welche Vektoren in beiden Mengen enthalten sind. Eine Basis ist ein maximal linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraums. Um x Vektoren zu einer Basis eines n-dimensionalen Vektorraums zu ergänzen, kannst du dir zu den bekannten einfach n-x weitere linear unabhängige Vektoren ausdenken.
11.01.2010, 21:44	sar87	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die Antwort. Wie bestimme ich den den Kern einer Matrix? Bisher habe ich nur die Basen bestimmt...
11.01.2010, 22:05	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach Ax=0 und Bx=0 lösen Im Kern sind alle Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

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