vollständige induktion mit Fakultät

11.01.2010, 20:12

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

vollständige induktion mit Fakultät

Hallo,

ich habe eine Übungsaufgabe bekommen und komme auch recht weit, aber an einer Stelle komm ich dann ins haken. Ich denke es ist nur ein kleiner Punkt den ich nicht erkenne.

Hier die Aufgabe.

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^n \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n + 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang für n=2 schenk ich mir jetzt mal.

So, Induktionsschluss also für n+1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{n+1} \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \end{pmatrix} = \frac{(n+2)!}{3! * (n-1)!} \end{eqnarray*}$

Das ganze mal aufgebrochen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{n+1} \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=2}^{n} \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme einsetzen und die formel einsetzen

$\begin{eqnarray*} = \frac{(n+1)!}{3! * (n-2)!} + \frac{(n+1)!}{2! * (n-1)!} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir ziemlich sicher dass es soweit stimmt denn wenn ich ein beliebiges n >= 2 nehme und einmal die formel im induktionsschluss ausrechne und die summe da oben dann kommt das gleiche raus.

Ich weiss nur nicht wie ich das auf einen bruchstrich kriege und dann so umforme dass

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)!}{3! * (n-1)!} \end{eqnarray*}$

rauskommt.

Hoffe jemand kann da helfen.

Vielen Dank

11.01.2010, 20:20

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 3!\cdot (n-1)! \end{eqnarray*}$ ist erstmal der gemeinsame Hauptnenner der beiden Summanden. Und um dann das beides auf diesen Hauptnenner zu bringen, hilft

$\begin{eqnarray*} (n-1)! = (n-1)\cdot (n-2)! \end{eqnarray*}$ sowie natürlich auch $\begin{eqnarray*} 3! = 3 \cdot 2! \end{eqnarray*}$ .

11.01.2010, 20:36

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry aber irgendwie klingelts noch nicht so ganz :-(

11.01.2010, 20:48

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, wenn du nicht sagen kannst, was dein Problem ist, kann dir auch keiner helfen. Entweder es liegt an der Fakultät (dann schau dir die Definition nochmal an) oder an der Bruchrechnung, was schon recht traurig wäre für einen Abiturienten.

Wenn es an der Fakultät liegen sollte, mach dir klar, dass n-1 größer ist als n-2.

11.01.2010, 20:50

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

es liegt am bruchrechnen ... ich bin immer mit ner 5 durchs abi weil keine lust und nun hol ich halt kräftig nach ...
könntest du mir auf die sprünge helfen ??

11.01.2010, 20:55

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

So ich habs mal versucht ...

Aus

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{3! * (n-2)!} + \frac{(n+1)!}{2! * (n-1)!} \end{eqnarray*}$

mach ich

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{3*2! * (n-2)!} + \frac{(n+1)!}{2! * (n-1)(n-2)!} \end{eqnarray*}$

dann kann ich dafuer ja auch schreiben

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!}{3*2! * (n-2)!} + \frac{3 * (n+1)!}{3* 2! * (n-1)(n-2)!} \end{eqnarray*}$

fast da ... nur wie krieg ich die (n-1) da raus ?? und vor allem .. macht das ueberhaupt sinn was ich da gemacht hab ;-)

Anzeige

11.01.2010, 20:58

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, die Frage lautet: Wie krieg ich (n-1) in den ersten Bruch rein?

11.01.2010, 20:59

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

hmm .. soo ?

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)(n+1)!}{3*2! * (n-1)(n-2)!} + \frac{3 * (n+1)!}{3* 2! * (n-1)(n-2)!} \end{eqnarray*}$

11.01.2010, 21:08

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Jep!
Und jetzt addier mal die Zähler der beiden Brüche!

11.01.2010, 21:10

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

joa .. sollte

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)(n+1)! + 3 * (n+1)!}{3*2! * (n-1)(n-2)!} \end{eqnarray*}$

bei rumkommen ...

11.01.2010, 21:13

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

achso unten ergibt sich gleich zu

$\begin{eqnarray*} \frac{(n-1)(n+1)! + 3 * (n+1)!}{3! * (n-1)!} \end{eqnarray*}$

damit waere der nenner fertig .. :-)

11.01.2010, 21:15

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest Du im Zähler eventuell was ausklammern?

Im Nenner solltest Du außerdem statt 3*2! vielleicht 3! und statt (n-1)(n-2)! mal (n-1)! hinschreiben.

Und: Ein kleines bißchen Mitdenken kann nicht schaden.

11.01.2010, 21:20

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und: Ein kleines bißchen Mitdenken kann nicht schaden.

Ich hab doch da oben schon astrein den nenner hinbekommen ;-) ... das ganze ist ziemlich neu fuer mich und was mathe angeht hab ich noch ordentlich nachholbedarf .. sorry ;-)

also oben ausgeklammert ergibt sich zu

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)!(3 + (n-1)))}{3! * (n-1)!} \end{eqnarray*}$

aber wie sich der zähler nun zu (n+2)! ergibt ist noch nicht ganz ersichtlich ...

11.01.2010, 21:24

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann guck mal ganz scharf hin! Es ist übrigens nicht verboten die Terme vollständig zusammenzufassen.

11.01.2010, 21:26

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese immer wieder anzutreffenden herablassenden Bemerkungen gibt es nur auf Mathematik-Plattformen.
Aber man weiss ja, dass es seltsame Leute sind.

11.01.2010, 21:32

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kühlkiste
Dann guck mal ganz scharf hin! Es ist übrigens nicht verboten die Terme vollständig zusammenzufassen.

sorry aber ich sehe es nicht ... und was mit vollständiger term gemeint ist weiss ich auch nicht so wirklich

11.01.2010, 21:34

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von wisili
Aber man weiss ja, dass es seltsame Leute sind.

Oh ja, das sind sie. Allerdings ist dir diese Distanziertheit gegenüber "denen" nur schwer abzunehmen, bei immerhin 382 eigenen Beiträgen in nur 6 Wochen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2010, 21:38

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

@hamlax: Ich meinte (3+n-1)=n+2 und somit (n+1)!(3+n-1)=...

Ich hoffe übrigens das Dich der nette Einwurf von wisili ebenso irritiert hat wie mich.

Zitat:

Original von wisili
Diese immer wieder anzutreffenden herablassenden Bemerkungen gibt es nur auf Mathematik-Plattformen.
Aber man weiss ja, dass es seltsame Leute sind.

Hast Recht, war echt total herablassend von mir den Kollegen hier Schritt für Schritt der Lösung näher zu bringen ohne ihm die Lösung hinzuballern.
Es offenbart sich hier einmal mehr, dass Du ein veritables Verständnisproblem mit dem Boardbrinzip hast.
Deine letzte Aussage ist eigentlich keinen Kommentar wert, aber Du scheinst da irgendwas erlebt zu haben was Du mit professioneller Hilfe verarbeiten solltest.

11.01.2010, 21:43

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

yay jetzt hab ichs ...

besten dank ... für solche sachen muss man halt ein auge kriegen und das geht halt nur mit erfahrung denk ich mal ...
ich glaub unser prof hat gesagt 'beweisen lernt man durch beweisen' ...

ich fand den spruch uebrigens auch nicht so dolle da der kram echt mega neu fuer mich ist aber trotzen vielen dank fuer die hilfe .... letztendlich wollte ich auch langsam herangefuehrt werden :-) ... also nochmal danke

11.01.2010, 22:07

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
Oh ja, das sind sie. Allerdings ist dir diese Distanziertheit gegenüber "denen" nur schwer abzunehmen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich zähle mich ja dazu. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.01.2010, 02:54

ml

Auf diesen Beitrag antworten »

@wisili hast noch platz im boot. smile

smile

ein mitleser

13.01.2010, 13:31

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kühlkiste
Deine letzte Aussage ist eigentlich keinen Kommentar wert, aber Du scheinst da irgendwas erlebt zu haben was Du mit professioneller Hilfe verarbeiten solltest.

Ein solcher Kommentar ist ebenso niveaulos wie solche wie "Schau DICH doch mal an!" in diversen Talkshows. Zudem geht er unter die Gürtellinie. Auch du scheinst das Boardprizip nicht allzusehr zu achten...

13.01.2010, 14:53

Kühlkiste

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Ein solcher Kommentar ist ebenso niveaulos wie solche wie "Schau DICH doch mal an!" in diversen Talkshows.

Ich hab mich schon immer gefragt für wen dieses Zeugs gesendet wird und siehe da... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von WebFritzi
Zudem geht er unter die Gürtellinie.

Üblicherweise werden zotige oder auch obszöne Aüßerungen als 'unter der Gürtellinie' charakterisiert was hier sicher nicht zutrifft.

Zitat:

Original von WebFritzi
Auch du scheinst das Boardprizip nicht allzusehr zu achten...

Mit der entsprechenden Anmerkung habe ich die implizite Aufforderung Komplettlösungen zu liefern, wie z.B. hier:
matheboard.de/thread.php?threadid=406931,
kritisiert.

Möglich, dass ich etwas übers Ziel hinausgeschossen bin aber ich war wegen dieser dämlichen Pauschalkritik einfach stinksauer.

18.01.2010, 00:50

hamlax

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: vollständige induktion mit Fakultät
Hallo,

nur falls es jemanden interessiert...

das ganze Ding wäre auch folgendermaßen zu lösen gewesen:

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^n \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n + 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{n+1} \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n+2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^{n+1} \begin{pmatrix} i \\ 2 \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=2}^{n} \begin{pmatrix} k \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Annahme einsetzen:

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} n + 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+1 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} n + 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gilt aufgrund folgender formel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n - 1 \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n - 1 \\ k - 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so einfach kanns sein :-)

19.01.2010, 17:00

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kühlkiste
Möglich, dass ich etwas übers Ziel hinausgeschossen bin

Sehr schön, dass du Einsicht zeigst.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »