Stetigkeitsnachweis

11.01.2010, 22:51	janlausitz	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeitsnachweis Hallo zusammen , Habe gerade versucht die Aufgabe zu lösen, aber iwie kam was wahres anstatt was widersprüchliches raus Vielleicht seht ihr ja wo der Fehler liegt? Es ist zu zeigen dass die Funktion f:[0,1]-->[0,1]; f(x) = $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ nicht lipschitz stetig ist. Angenommen die Funktion f(x)= $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ ist lipschitz stetig. Es gilt also $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ L $\begin{eqnarray} \|x-y\| \end{eqnarray}$ für alle x,y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ D mit der Konstanten L > 0 $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \|\sqrt{x}-\sqrt{y}\| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \|\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \|\frac{x-y}{\sqrt{x} +\sqrt{y}}\| \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{\| x-y \|}{\| \sqrt{x}+ \sqrt{y}\|} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \frac{1}{\| \sqrt{x}+\sqrt{y} \|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| x-y\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \| x-y\| \end{eqnarray}$ Aber dann wäre doch L = 0,5 und somit f auch lipschitz stetig??
11.01.2010, 23:10	Eierkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeitsnachweis Betrachte: $\begin{eqnarray} \frac{\|f(x)-f(0)\|}{\|x-0\|} \end{eqnarray}$ für x gegen 0
11.01.2010, 23:17	janlausitz	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist die Funktion nur durch die Einschränkung auf das Intervall [0,1] nicht lipschitz stetig?
11.01.2010, 23:27	Eierkopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gilt auch über andere Intervalle, die [0;1] enthalten. Über [1;2] wäre das anders.
12.01.2010, 17:18	janlausitz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, also kann die Funktion wegen dem Element Null nicht lipschitz stetig sein?
12.01.2010, 19:08	janlausitz	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder anders gefragt, welchen Widerspruch erhält man wenn man x und y aus dem Intervall [0,1] wählt?
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