nichtlineare Rekursion

12.01.2010, 10:19	goldnerbagger	Auf diesen Beitrag antworten »
nichtlineare Rekursion Gegeben sei die Rekursion: x_0=1 x_n+1= (3x_n+1)/(2x_n+1) Gib eine geeignete zugehörige Iterationsfunktion phi auf dem Intervall [1,2] an. Bei dieser Rekursion hänge ich ein wenig. Komme auf keine Iterationsfunktion. Hat jemand eine Tipp. Wie ich auch generell eine Funktionsvorschrift erstellen kann? Danke
14.01.2010, 02:06	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: nichtlineare Rekursion Nach langem Grübeln habe ich einen etwas komplizierten Weg gefunden: Weißt du wie man die explizite Darstellung der Fibonacci-Folge mittels Differenzengleichung herleitet? Das klappt auch hier wenn man ein bischen Vorarbeit leistet. Dazu muss $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ als Folge von gekürzten Brüchen betrachtet werden; für Nenner- und Zähler-Folge lässt sich dann ein Bildungsgesetz der Form $\begin{eqnarray} a_{n+2} = s\cdot a_{n+1} + t\cdot a_n \end{eqnarray}$ herleiten.
14.01.2010, 09:57	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
@irre.flexiv Ja, klingt gut, erinnert mich ein wenig an Rekursive folge umwandeln in die explizite Darstellung vermutlich läuft der Hase hier sehr ähnlich. @goldnerbagger Die Bemerkungen von irre.flexiv und mir beziehen sich auf das Finden einer expliziten Darstellung. Der weitaus einfachere Teil der Angabe einer Iterationsfunktion $\begin{eqnarray} T:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ kann doch aber nicht das Problem sein. Sie muss die Eigenschaft $\begin{eqnarray} x_{n+1} = T(x_n) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ haben. Da kann man doch das $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ direkt aus $\begin{eqnarray} x_{n+1} = \frac{3x_n+1}{2x_n+1} \qquad () \end{eqnarray}$ ablesen - eretze rechts einfach nur jedes $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ durch ein $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , schon hast du deine Iterationsfunktion $\begin{eqnarray} T(x) \end{eqnarray}$ gefunden. Eine Anmerkung noch zu deiner Formeldarstellung: Für $\begin{eqnarray} x_{n+1} \end{eqnarray}$ solltest du in der Textdarstellung besser x_{n+1}* oder x_(n+1) schreiben, um es von $\begin{eqnarray} x_n+1 \end{eqnarray}$ unterscheiden zu können!!! Version () ist unter diesem Aspekt nämlich nur die geratene plausibelste Variante deiner Darstellung x_n+1= (3x_n+1)/(2x_n+1)*.

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