Stetigkeit im Nullpunkt - 2 Variablen

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koberkober Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit im Nullpunkt - 2 Variablen
Hallo liebe Leute,
ich stehe vor folgendem Problem:

Untersuchen sie folgende Funktion auf Stetigkeit im Nullpunkt
f(0,0)=0; (x,y) ungleich (0,0); f(x,y)= (3x²+2y²)/(x²+y²)


Ich weiß nur garnicht wie ich hier am besten anfange, bzw wie ich das löse...

Hat jemand ein paar Tips, Lösungsansätze oder Hilfen für mich parat?

Wäre euch sehr verbunden,

lG Phil
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist nicht stetig. Nehme Dir dazu eine Folge her mit und zeige dass dann gilt. Du kannst eine Folge explizit angeben. Warum folgt daraus dass f unstetig in (0,0) ist?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Durch Umformung erhält man



Wenn f im Nullpunkt stetig ist, konvergiert der Term für alle Nullfolgen gegen .

Ist dies der Fall?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht gehe zu Polarkoordinaten über




Dann vereinfacht sich Deine Funktion zu



Diese Funktion kann man sich als eine gekrümmte Fläche über der xy-Ebene vorstellen, wobei der Winkel durch gegeben ist. Wenn man sich auf verschiedenen Geraden y=mx dem Nullpunktvon der Peripherie nähert, bleibt während der Annäherung (also entlang der Geraden) der Winkel und folglich Funktionswert konstant. Dieser Funktionswert hat aber für jede Gerade i.A. einen anderen Wert, woraus die Nichtstetigkeit folgt.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Weiss nicht so genau, ob es die Aufgabe vereinfacht, wenn man Polarkoordinaten einführt... LOL Hammer

tmo's Umformung sollte doch völlig ausreichen... Da erkennt man doch sehr gut, was passieren könnte.
koberkollege Auf diesen Beitrag antworten »

so in etwa?

 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Formaler Hinweis : Du musst eine Folge im wählen die gegen konvergiert. Also schreibst Du nicht




sondern



Der Rest ist abgesehen von Tipfehlern im Limes ok.
koberkollege Auf diesen Beitrag antworten »

aha ich sehe smile

also is der ansatz richtig.. aber für mein verständnis wäre noch eine kleine erklärung super..

ich kann mir das im dreidimensionalen raum nicht richtig vorstellen..
was beweist mir dies nun?

dass die fläche in ALLEN punkten stetig ist?
ich kann mir nicht vorstellen dass das so einfach gehen soll ^^
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Schau Dir noch mal an was Stetigkeit mit Folgen zu tun hat. Dann verstehst Du warum es so einfach geht.
snooc Auf diesen Beitrag antworten »

ich finde nichts was mir meine frage beantworten kann.. ^^
aber egal.. lassen wir das..
ich hab da jetzt ein beispiel bei dem



rauskommt.. wenn ich mich recht entsinne ist das aber noch kein vollständiger beweis für die stetigkeit oder?
kann mir da jemand eine richtung angeben? ^^

lg, danke
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion f (auf den entsprechenden Räumen usw.) ist genau dann im Punkt stetig wenn für alle Folgen im Definitionsbereich von f die gegen konvergieren gilt :



Ich möchte wetten dass Ihr diese Aussage hattet. Die Folgerung ist, dass eine man zum Widerlegen der Stetigkeit einer Funktion nur eine Folge finden muss für die obige Gleichung nicht gilt, dann folgt sofort dass die Funktion unstetig ist.
snooc Auf diesen Beitrag antworten »

und wie wird das bewiesen?

sorry, wenn du mein skritpum sehen würdest, dann würdest du mich verstehn ^^
ich blick absolut nicht durch bei der ganzen sache...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist Grundlagenathematik. Eine Aussage A gilt genau dann wenn für alle x die Aussage B gilt. Finden wir ein x, für dass B nicht gilt, gilt A auch nicht. Oder das Thema betreffenden:

Finden wir eine Folge die gegen (0,0) konvergiert, aber im Bild nicht gegen f(0,0) geht, so ist f nicht stetig.
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