adaptive Finite Elemente Methode

12.01.2010, 16:25	H4wk	Auf diesen Beitrag antworten »
adaptive Finite Elemente Methode Ich hab in einem Text folgende Aussage: Wir sagen eine Methode zur Lösung des Randwertproblems ist optimal, wenn wann immer die Lösung $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ so ist, dass für ein $\begin{eqnarray} s >0 \end{eqnarray}$ der Fehler der besten Approximation aus einem $\begin{eqnarray} S_P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \# \leq n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lesssim n^{-s} \end{eqnarray}$ ist, dann für ein $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ die Methode ein Gitter $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ und ein $\begin{eqnarray} w_P \in S_P \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vert u- w_P \vert_1 \leq \varepsilon \end{eqnarray}$ in nur $\begin{eqnarray} \lesssim \end{eqnarray}$ # $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ Operationen ausgibt, wobei # $\begin{eqnarray} P \lesssim \varepsilon^{\frac{1}{s}} \end{eqnarray}$ . Wobei $\begin{eqnarray} S_P \end{eqnarray}$ der Raum der bezüglich P stetigen, stückweise linearen Funktionen ist. Mir ist leider nicht ganz klar, was genau daran optimal ist. Kann mir das bitte jemand erklären?
20.01.2010, 16:13	H4wk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir mal überlegt, dass es einerseits optimal ist im algebraischen Sinn, da für das Lösen eines LGS nur $\begin{eqnarray} \mathcal{O}(n^2) \end{eqnarray}$ Operationen benötigt werden, was einer Matrix-Vektor-Multiplikation entspricht, was der mindeste Aufwand ist, um ein LGS überhaupt zu lösen. Und andererseits ist es optimal bezüglich des Fehlers, da der auf einem kleinstmöglichen Gitter den gewünschten Wert annimmt. Wenn man zum Beispiel mit globaler Verfeinerung arbeitet würde man ja auch erwarten, dass der Fehler in der $\begin{eqnarray} \vert \cdot \vert_1 \end{eqnarray}$ -Norm mit $\begin{eqnarray} \mathcal{O}(h) \end{eqnarray}$ abnimmt, oder?

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