Punkte in allgemeiner Lage |
| 12.01.2010, 18:34 | mario1010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Punkte in allgemeiner Lage Ich bereite mich für die Matura vor und unser Lehrer hat in einer Aufgabensammlung auch folgende Aufgabe gestellt. Nun bin überfordert mit diese Aufgabe: A(1/-1/0), B(4/1/2), C(3/1/0), D(4/8/6) sind vier Punkte des Raumes in allgemeiner Lage. a) Was heißt in allgemeiner Lage? b)Weisen Sie durch einen geeignetes Kriterium nach, dass diese 4 Punkte tatsächlich allgemeine Lage haben. c) Wie viele Lösungen hat diese Aufgabe? d) Bestimmen Sie eine Lösung. Nun der Reihe nach: a) Irgednwie habe ich so verstanden, dass in allgemeiner Lage heißt wenn im Raum 3 Punkte eine Ebene bilden und der vierte Punkt nicht in der Ebene liegt. Liegt auch vierter in der Ebene, so ist es keine allgemeine Lage. Kennt jemand genaue Definition der allgemeinen Lage? b) Hierzu muss ich zugeben, dass mir viel zu viel fehlt für solchen Beweis. Aber man kann z. B. drei Punkte als eine Ebene auffassen und prüfen, dass der vierte nicht in dieser Ebene liegt. Kennt jemand ein besseres Kriterium? c) Irgendwo hat Lehrer schon erzählt, dass es unentlich viele Lösungen gibt. Aber warum, das verstehe ich nicht. Ich glaube hierzu fehlt mir die genaue Definition der allgemeinen Lage. d) Liege ich richtig, wenn ich einfach die ersten drei Punkte für eine Ebene nehme und dann den Punkt D als ein Punkt ausserhalb der Ebene? Ich hoffe jemand kann helfen. Danke. Grüße Mario |
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| 12.01.2010, 19:58 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Statt die Vektoren alle vom Punkt aus zu den anderen Punkten loszuschicken, kannst du das natürlich auch von aus tun. Und wie kann man nun z.B. zeigen, daß drei Vektoren linear unabhängig sind? für Fortgeschrittene Bei c),d) fehlt die Aufgabenstellung. |
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| 12.01.2010, 20:29 | mario1010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Leopold, wenn ich es richtig verstehe, dann hast du die Definition der allgemeinen Lage durch diesen Äquivalenzpfeil gegeben? Die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren zu zeigen ist nicht schwirig: also wenn gilt: [latex] k\cdot\vec{a}+m\cdot\vec{b}+l\cdot\vec{c}\neq \vec{0}[\latex] dann sind sie linear unabhänging. Nochmals zu c) und d) c) Wie viele Lösungen hat diese Aufgabe: ich denke damit ist gemeint wie viele verschiedene allgemeine Lagen hat diese Konstellation von 4 Punkten? Nach deinem wäre es möglich von jedem Punkt aus diese drei Vektoren aufzuspannen. Also hätten wir vier Lösungen. Ich verstehe nicht warum Lehrer sagt unendlich. d) Eine Lösung wäre dann ganz einfach eine dieser vier Konstellationen: z.B. deine. Aber ich muss dir gestehen, dass ich mir über diese Dinge sehr unsicher bin! Bist du dir 100% sicher, dass deine Definiton der allgemeiner Lage stimmt? Danke Gruss Mario |
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| 12.01.2010, 20:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist nicht richtig. Richtig ist vielmehr, daß linear unabhängig sind, wenn Und entscheidend ist hier das Wörtchen "nur". c),d): Das verstehe ich nicht. Die Punkte sind gegeben. Fertig. Entweder haben sie allgemeine Lage oder sie haben sie nicht. Da gibt es nicht mehrere Lösungen. Hier fehlt meines Erachtens die Aufgabe. |
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| 12.01.2010, 21:46 | mario1010 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry Leopold, klar mir ist da ein Buchstabe falsch reingerutsch also nicht \neq sondern \eq. Danke für die Berichtigung. Zu der Aufgabe kann ich leider nicht mehr geben. Das ist die Aufgabenstellung im Original und mehr kann ich nicht anbieten. Es war eine Maturaaufgabe im Original: deshalb denke ich, dass es mehrere allgemeine Lagen geben muss. Nun habe ich mal in der Hochschulmathe nachgeschaut. Die Materie ist irgendwie sehr schierig und dort sprechen sie von der allgemeinen Lage von n Punkte in m-dimensionalem Raum. Danach berechnen sie die Anzahl der allgemeinen Lagen mit Kombinatorik. Ales konfuse Sachen. Gruss Mario |
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