Spiegelung an Gerade oder Ebene

12.01.2010, 19:20

Physinetz

Spiegelung an Gerade oder Ebene

Hallo zusammen,
habe mal hier im Forum nach recherchiert aber nicht wirklich was passendes dazu gefunden, obwohl es ja einige solcher Fragen gibt:

a)

Gegeben ist im R² eine Gerade, die beschrieben wird durch die Gleichung
$\begin{eqnarray*} x_1-2*x_2+2=0 \end{eqnarray*}$
Finden Sie eine Matrix A und einen Vektor t so, dass die Spiegelung an der Geraden beschrieben wird durch die affine Abbildung x -- > Ax+t

b) Das gleiche für eine Ebene $\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2+x_3=15 \end{eqnarray*}$

Also ich bin ziemlich ratlos...was mir einfällt :

a) Eine Spiegelmatrix ist von der Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos (\gamma) & sin(\gamma) \\ sin (\gamma) & -cos(\gamma ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) Eine Spiegelung ist ja eine Art Drehung

c) Mit der Fixpunktgleichung komme ich ja auch nicht weiter

d) Habe mal gehört: Gerade aufzeichnen, 3 Punkte samt dazugehörigen Spieglpunkt aufindig machen. Dann irgendwie ein LGS aufstellen...
Aber diese Art von Lösung scheint mir schon nicht ganz sinnvoll, da es sich ja um eine Art "geometrische" Lösung mit ablesen der Punkte handelt...und bei Teilaufgabe b) wird das ganze ja dann noch komplizierter

Vielleicht weiß da jemand einen Tipp damit ich mal weiterknobeln kann, vielen Dank

12.01.2010, 19:39

DGU

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche geometrische Lage zueinander haben denn die Spiegelungsgerade und die Gerade, die einen Punkt mit seinem Spiegelpunkt verbindet, und wie drückt sich diese Eigenschaft mathematisch aus?

12.01.2010, 19:45

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

[Artikel] Spiegelung an Gerade und Hyperebene

12.01.2010, 20:16

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

die Spiegelgerade und die Gerade die die beiden Punkte verbindet stehen senkrecht aufeinander, das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren ist also gleich Null.

Puh das ist ja ein ganz schön krasser Workshop..einfacher gehts nicht :-D? bzw. mit anderen Mitteln? Weil das mit dieser allgemeinen Lösung für Ebenen z.B. hatten wir noch nicht wirklich...deshalb weiß ich nicht ob das in meinen Hausis jetzt schin gefragt ist...also noch eine andere Variante?

12.01.2010, 20:35

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Das einzig Schwierige am Workshop ist seine Allgemeinheit. Wenn du im ersten Beitrag konkret

$\begin{eqnarray*} s_1 = 1 \, , \ s_2 = -2 \, , \ t = -2 \end{eqnarray*}$

setzt, ist das genau deine Aufgabe. Und dein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ heißt im Workshop $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ und dein $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ heißt dort $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ .

Was die geometrische Idee des Beweises angeht, ist das Schulmathematik: Geradengleichung, Orthogonale, Schnittpunkt usw.

12.01.2010, 21:57

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ja das einsetzen ist nicht wirklich schwer, da gebe ich dir Recht, nur die Herleitung...

Also habe in meinem Repetitorium der Höheren Mathematik folgende Formeln gefunden:

Für Spiegelung des Raumes an

a) Gerade G durch O:

$\begin{eqnarray*} G:\vec{x} =r*\vec{a} \end{eqnarray*}$ somit Matrix M: $\begin{eqnarray*} M=2*\vec{a}*\vec{a}^T-E \end{eqnarray*}$

b) Ebene S durch O:

$\begin{eqnarray*} S:\vec{n} * \vec{x} =0 \end{eqnarray*}$ somit Matrix M:

$\begin{eqnarray*} M=E-2*\vec{n}* \vec{n}^T \end{eqnarray*}$

Denke das Problem an den Formeln ist, dass diese nur dann geeignet sind, wenn die Geraden/Ebenen durch O verlaufen?

Zusätzlich noch ein anderer Gedanke:

Ich weiß ja das bei der Spiegelmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos (\gamma) & sin(\gamma) \\ sin (\gamma) & -cos(\gamma ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...hier schließt die Spiegelachse mit der ersten Koordinatenachse den
Winkel " 1/2*phi " ein.
Könnte ich nun nicht irgendwie meine Gerade in den Urspung verschieben, schauen wie groß der Winkel zwischen erster Koordinatenachse und Gerade ist. Dies dann umrechnen und in meine allgemeine Spiegelmatrix einsetzen und dann irgendwie alles wieder richtig verschieben?

Wenn alles nicht hilft, muss ich wohl doch einfach auf die Formeln von Leopold zurückgreifen...

Dankeschön!

13.01.2010, 12:36

Oli87

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Spiegelung an Gerade oder Ebene
Hi, bist du an der Uni S?Muss grad auch so ne Aufgabe machen...würds jetzt nach der Lösung von Leopold machen, nur check ich das nich ganz, was ist zum Bsp. p?Ein Punkt der an der Ebene gespiegelt wird, aber wo liegt der?In der Matrix?Gruß Oli

13.01.2010, 18:56

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Herleitung zur Spiegelung von Geraden verstehe ich nicht ganz...

Im Prinzip ist das ja genau das, was ich beschrieben habe:

Zitat:

Ich weiß ja das bei der Spiegelmatrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos (\gamma) & sin(\gamma) \\ sin (\gamma) & -cos(\gamma ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...hier schließt die Spiegelachse mit der ersten Koordinatenachse den
Winkel " 1/2*phi " ein.
Könnte ich nun nicht irgendwie meine Gerade in den Urspung verschieben, schauen wie groß der Winkel zwischen erster Koordinatenachse und Gerade ist. Dies dann umrechnen und in meine allgemeine Spiegelmatrix einsetzen und dann irgendwie alles wieder richtig verschieben?

Nur kann ich in deiner Herleitung nicht ganz folgen.Deshalb mal mein Gedanke:

Kann ich denn nicht einfach gedanklich erstmal die Gerade in den Ursprung schieben, den Winkel ausrechnen mit der ersten Koordinatenachse, diesen dann mit 2 multiplizieren. Dann einfach in die Matrix mit sin, cos,... einsetzen? Anschließend dann die Matrix mit den Winkeln, man nenne Sie mal A, mit Variable v multiplizieren, und dann zurück verschieben?

Weil du, Leopold, machst das ja so, dass du eine Matrix nimmst (wird wohl diesselbe sein wie meine ? ) und diese dann multiplizierst mit (x-v) und fügst dann erst v wiederhinzu...das verstehe ich nicht ganz...

Danke Leopold

Gruß Physi

14.01.2010, 18:29

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier wird es erklärt: Zunächst wird sowohl die Gerade also auch der Punkt mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ gleichzeitig um den Vektor $\begin{eqnarray*} - \vec{v} \end{eqnarray*}$ verschoben. Die Verschiebung mit dem dort angegebenen $\begin{eqnarray*} - \vec{v} \end{eqnarray*}$ macht die Gerade zu einer Ursprungsgeraden und aus $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ wird $\begin{eqnarray*} \vec{x} \, ' = \vec{x} - \vec{v} \end{eqnarray*}$ . Jetzt wird $\begin{eqnarray*} \vec{x} \, ' \end{eqnarray*}$ an der Ursprungsgeraden gespiegelt:

$\begin{eqnarray*} \vec{y} \, ' = S \cdot \vec{x} \, ' \end{eqnarray*}$

Und dann wird die anfängliche Verschiebung wieder rückgängig gemacht:

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \vec{y} \, ' + \vec{v} = S \cdot \vec{x} \, ' + \vec{v} = S \cdot \left( \vec{x} - \vec{v} \right) + \vec{v} = S \cdot \vec{x} + \underbrace{\vec{v} - S \cdot \vec{v}}_{= \vec{w}} \end{eqnarray*}$

Die Tatsache, daß man eine Spiegelungsmatrix auf die trigonometrische Form bringen kann, heißt ja nicht, daß man sie auf diese Form bringen muß!

17.01.2010, 10:46

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe im R3 eine Ebene mit

$\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2+x_3=15 \end{eqnarray*}$ . Dazu soll ich nun eine Matrix und einen Vektor t so finden, dass man die Spiegelung durch eine affine Abbildung x -- > Ax+t darstellen kann.

So wie ich das herauslesen konnte, kann man "Leopolds" Formel in seinem Workshop :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \text{(*)} \ \ \ \vec{y} = \vec{x} - \frac{2 \, \vec{s} \, \vec{x}}{\vec{s}^{\ 2}} \, \vec{s} \end{eqnarray*}$

nur dann benutzen, wenn

Zitat:

$\begin{eqnarray*} H: \ \ \vec{s} \, \vec{x} = 0 \end{eqnarray*}$

, die Hypereben also durch den Ursprung verläuft.

Richtig?

Dann müsste ich praktisch meine Ebene $\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2+x_3=15 \end{eqnarray*}$ mit einem Vektor t in den Ursprung verschieben?
Kann ich dazu die Parameterform der Ebene aufstellen und dann habe ich ja den Ortsvektor, und diesen dann eben mit Negotation als mein t verwenden?

Oder wie würdet ihr rangehen?

17.01.2010, 12:00

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu denn die ganze Parameterdarstellung? Ein Punkt genügt, z.B. $\begin{eqnarray*} (0,0,15) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (3,4,1) \end{eqnarray*}$ oder sonst ein Tripel, das $\begin{eqnarray*} 2x_1 + 2x_2 + x_3 = 15 \end{eqnarray*}$ erfüllt. Nimm den ersten, er sieht am einfachsten aus. Du verschiebst also mit

$\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

das wäre dann die Abbildung

$\begin{eqnarray*} \vec{x} \, ' = \vec{x} - \vec{v} \end{eqnarray*}$

Es ist ferner gemäß dem letzten Beitrag des Links

$\begin{eqnarray*} \vec{s} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ S = \left( s_i s_j \right)_{i,j} = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 2 \\ 4 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dieses $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ist allerdings noch nicht die Spiegelungsmatrix, sondern erst die Matrix

$\begin{eqnarray*} T = E - \frac{2}{\vec{s}^{\, 2}} \cdot S \end{eqnarray*}$

Das ist vielleicht etwas unglücklich bezeichnet. Wie auch immer, jetzt kannst du spiegeln:

$\begin{eqnarray*} \vec{y} \, ' = T \vec{x} \, ' \end{eqnarray*}$

und wieder zurückverschieben:

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = \vec{y} \, ' + \vec{v} \end{eqnarray*}$

Und wenn du das alles zusammensetzt, erhältst du die gewünschte Form

$\begin{eqnarray*} \vec{y} = T \vec{x} + \vec{w} \end{eqnarray*}$

Übrigens: $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ muß eine orthogonale Matrix mit negativer Determinante sein. Überprüfe deine Rechnung darauf hin. Und spaßeshalber kannst du die Rechnung auch einmal mit einem andern geeigneten $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ durchführen, am Schluß sollte sich dasselbe ergeben.

17.01.2010, 18:09

Physinetz

Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich glaub ich habs geschnallt...

nur noch zwei Fragen:

a) Wie kommst du darauf, dass die Einträge in der Matrix S in deinem Workshop sich wie beschrieben zusammensetzen aus :

$\begin{eqnarray*} S = \left( s_i s_j \right)_{1 \leq i,j \leq n} \end{eqnarray*}$

b) Du verwendest einmal den Vektor $\begin{eqnarray*} g: \ \ \ \vec{x} = \vec{p} + \lambda \, \vec{s} \, , \ \ \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

und einmal den Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$

Nachher benennst du sogar einfach p in x um...da steige ich nicht ganz durch?

Zitat:

Jetzt benennen wir $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$

Besten Dank Leopold

Gruß Physinetz

Neue Frage »

Antworten »

Spiegelung an Gerade oder Ebene

Verwandte Themen