Kommutatives Diagramm - Bidualraum

13.01.2010, 10:28

Duedi

Kommutatives Diagramm - Bidualraum

Hi!
Gegeben ist das angehängte Diagramm. Gezeigt werden soll, dass das Diagramm kommutiert, das heißt, dass $\begin{eqnarray*} f^{**}\circ kan = kan \circ f \end{eqnarray*}$
Erst mal die Definition der Funktionen:

$\begin{eqnarray*} kan:& V \rightarrow V^{**}\quad & v \mapsto (\tau : V^{*}\rightarrow K \quad \phi \mapsto \phi(v))\\f :& V\rightarrow W\quad & v\mapsto f(v)\\f^{*}:& W^* \rightarrow V^*\quad & \eta\mapsto \eta\circ f\\f^{**} : & V^{**}\rightarrow W^{**}\quad & \psi \mapsto \psi\circ f^* \end{eqnarray*}$

Erst einmal $\begin{eqnarray*} kan \circ f \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (kan \circ f)(v)=(v\mapsto(\phi\mapsto\phi(v)))\circ(v\mapsto f(v)))(v)<br /> =(v\mapsto(\phi\mapsto \phi(v)))(f(v))=(\phi\mapsto\phi(f(v))) \end{eqnarray*}$

Und die andere Verkettung:

$\begin{eqnarray*} (f^{**}\circ kan)(v) = (\psi\mapsto\psi\circ(\eta\mapsto \eta\circ(v\mapsto f(v))))\circ(v\mapsto(\phi\mapsto \phi(v)))(v)<br /> = (\psi\mapsto\psi\circ(\eta\mapsto \eta\circ(v\mapsto f(v))))(\phi\mapsto \phi(v))) <br /> =(\phi\mapsto \phi(v)))\circ(\eta\mapsto \eta\circ(v\mapsto f(v))) \end{eqnarray*}$

Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Warum stimmen die beiden Funktionen jetzt überein? Muss ich der unteren Funktion noch ein Argument übergeben?
Wenn ja, warum? Und welches?

13.01.2010, 11:55

WebFritzi

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RE: Kommutatives Diagramm - Bidualraum

Zitat:

Original von Duedi
$\begin{eqnarray*} kan:& V \rightarrow V^{**}\quad & v \mapsto (\tau : V^{*}\rightarrow K \quad \phi \mapsto \phi(v)) \end{eqnarray*}$

Komplizierter geht es wohl nicht... Schreib es lieber so:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{kan} : V\to V^{**},\quad [\operatorname{kan(v)}]v^* = v^*(v) \,\text{ für }\,v^*\in V^*. \end{eqnarray*}$

Dann gilt für $\begin{eqnarray*} w^*\in W^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in V\,: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \big[f^{**}(\operatorname{kan}(v))\big]w^* = \big[\operatorname{kan}(v)\circ f^*\big]w^* = [\operatorname{kan}(v)](f^*w^*) = (f^*w^*)(v) = w^*(fv) = \dots \end{eqnarray*}$

13.01.2010, 16:48

Duedi

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Danke! Ich habs geschafft!

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