Konvergenzradien von Potenzreihen

13.01.2010, 13:43

Explo

Konvergenzradien von Potenzreihen

So dann fange ich am besten erstmal an mit der gesamten Aufgabe:

a) Es sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller Zahlen.

i) Es sei $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |a_{n+1}/a_{n}| \geq 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq n_0 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen sie, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ divergiert

ii) Es gelte $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$ für unendlich viele $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Beweisen sie, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ divergent ist.

___________________

b) und c) poste ich bei Problemen später, da bei beiden dann als Hinweis steht diese beiden teile zu benutzen.. Aber da haperts bei mir ja schon.

Die beiden Bedingungen sind ja das Quotienten- und das Wurzelkriterium mit denen man zeigen kann, dass eine Reihe konvergent ist. (oder?)
bzw. sind diese leicht abgeändert (halt ohne ein 0 <= q < 1).

Diese gelten halt als Vorraussetzung nicht. Das heisst die Reihe ist nicht konvergent. Aber wie geht es denn dann weiter? Nur weil eine Reihe nicht konvergent ist ist sie ja noch lange nicht divergent ..

Mir fehlt da der zündende Gedanke, wie ich das ganze angehen soll :/

Über Hilfe/ Ideen wäre ich sehr dankbar.

13.01.2010, 13:51

klarsoweit

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
Schau dir den Beweis für das Quotienten- und das Wurzelkriterium genau an und adaptiere den Beweis für diesen Fall.

13.01.2010, 13:58

Explo

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Ich schreib mal einen (ersten) Versuch für i)

$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}/a_{n}| \geq 1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt ja

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n \leq a_{n+1} \leq ... \end{eqnarray*}$ .. die Folge ist also keine Nullfoge.

Das is jetzt fast mehr geraten als behauptet, müsst ich grad nochmal nachlesen(mach ich dann auch direkt aber vllt. antwortet ja jmd. schneller )

Da also die Folge keine Nullfolge ist resultiert, dass die Reihe divergiert.

13.01.2010, 14:02

Explo

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen
für ii) würde ich das dann jetzt mal so versuchen / aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a_n} \geq 1 \end{eqnarray*}$

~> $\begin{eqnarray*} |a_n| \geq 1^n \end{eqnarray*}$

a_n kann also wieder keine Nullfolge sein ~> divergenz...

Bleibt nur noch die Frage ob man aus "es ist keine Nullfolge" einfach schließen kann, dass die Reihe divergiert ?!

13.01.2010, 14:13

klarsoweit

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RE: Konvergenzradien von Potenzreihen

Zitat:

Original von Explo
$\begin{eqnarray*} |a_{n+1}/a_{n}| \geq 1 \end{eqnarray*}$

daraus folgt ja

$\begin{eqnarray*} 0 \leq a_n \leq a_{n+1} \leq ... \end{eqnarray*}$ .. die Folge ist also keine Nullfoge.

Genau genau genommen folgt: $\begin{eqnarray*} 0 < |a_n| \leq |a_{n+1}| \leq ... \end{eqnarray*}$

Die Konsequenzen sind aber die gleichen.

Zitat:

Original von Explo
Bleibt nur noch die Frage ob man aus "es ist keine Nullfolge" einfach schließen kann, dass die Reihe divergiert ?!

Ja, wie man sich leicht überlegt.

17.01.2010, 16:39

Explo

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besser spät als nie *hust*

Erstmal wieder die Aufgabe(n) dazu:

b) Bestimmen sie den Konvergenzradius der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(k!)^4}{(4k)!} \cdot x^k \end{eqnarray*}$

(Hinweis Quotientenkriterium und Teil a) i) der Aufgabe.)

c) Ermitteln sie den Konvergenzradius der Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty k^4 \cdot (x-2)^k \end{eqnarray*}$

(Hinweis Wurzelkriterium und Teil a) ii) der Aufgabe)

also vom Prinzip her sind ja dann beide Aufgaben änlich.

Ich hab nun b versucht und wollte das über die Form:

$\begin{eqnarray*} r = \lim_{k \to \infty} | \frac {a_k}{a_{k+1}} | \end{eqnarray*}$

Da steh ich aber nun vor 2 Fragen. 1. Wie löse ich das dann .. ich hab das mal eingesetzt komme dann aber direkt nach dem einsetzen schon nicht weiter.
Und zweiteres, wie mir Teil i) helfen soll, da da ja von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} / a_{n} \end{eqnarray*}$ die Rede war und nicht andersrum :/

Wär nett/cool, wenn mir da jemand i.wie weiterhelfen könnte.

18.01.2010, 00:15

Explo

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Vielleicht ist ja noch zufällig jemand wach und sieht bei folgendem schneller was als ich :p

:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac {(k!)^4 \cdot (4k+4)!}{(4k)! \cdot ((k+1)!)^4} \cdot \frac 1x \end{eqnarray*}$

also ich weiß, dass man (4k+4)! und (4k)! so kürzen kann, dass im Zähler nur noch steht

(4k+1) * ... * (4k+4)

Aber wie (falls) kann man $\begin{eqnarray*} \frac {(k!)^4} {((k+1)!)^4 } \end{eqnarray*}$ ... kürzen ?

Edit: 4 vergessen

18.01.2010, 00:24

Explo

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Ok ich habs selbst =D

$\begin{eqnarray*} \frac {(k!)^4} {((k+1)!)^4 } = \frac 1 {(k+1)^4} \end{eqnarray*}$

18.01.2010, 00:57

Explo

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Sooo neues Problem... und selbst wenn keiner wach ist, mich würde auch morgen eine Lösung dazu sehr interessieren.

Der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty k^k \cdot (x-2)^k \end{eqnarray*}$ soll berechnet werden.

Da springt einem ja förmlich die Formel von Cauchy-Hadamard ins auge ..

Also hab ichs erstmal eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} r =\frac 1{ \lim_{k \to \infty} \sup\sqrt[k]{|a_k|} } =\frac 1{ \lim_{k \to \infty} \sup\sqrt[k]{|k^k \cdot (x-2)^k|} } = \frac 1{ \lim_{k \to \infty} \sup( k \cdot (x-2))} \end{eqnarray*}$

Nun bin ich aber der Meinung, dass der Grenzwert nicht existiert, da der Nenner gegen unendlich strebt für beliebige x ...

Ist das egal und der Konvergenzradius dann 0 ? oder wie müsste man da vorgehen?

18.01.2010, 01:20

Explo

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im letzten Bruch muss es natürlich heissen:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{ \lim_{k \to \infty} \sup(| k \cdot (x-2) |)} \end{eqnarray*}$

(also mit betrag), und für $\begin{eqnarray*} x \neq 2 \end{eqnarray*}$ .

Oder hat dann x=2 was mit meinem Konvergenzradius zu tun? verwirrt

18.01.2010, 07:16

jester.

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$\begin{eqnarray*} R=\frac 1 {\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|k^k|}} \end{eqnarray*}$ - der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (x-2) \end{eqnarray*}$ hat da nichts zu suchen.

18.01.2010, 10:00

Explo

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Achso okay, dann fällt das $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$ im ersten Teil auch weg?

Und trotzdem geht das ja gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (also der Nenner). Also ist der KR dann 0 ?

18.01.2010, 22:09

jester.

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Zitat:

Original von Explo
Achso okay, dann fällt das $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$ im ersten Teil auch weg?

Nö, warum denn? Da verwendest du doch das Quotientenkriterium, welches sich auf den gesamten "Summanden" einer Reihe (ganz gleich ob es eine Potenzreihe oder nicht ist) bezieht.

Zitat:

Und trotzdem geht das ja gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ (also der Nenner). Also ist der KR dann 0 ?

Ja.

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