Basis von (0,0)

13.01.2010, 14:12	JoeM	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis von (0,0) Hallo, also die Aufgabenstellung lautet: Geben Sie für folgende lineare Abbildungen zwischen R-Vektorräumen eine Basis das Kerns und des Bildes an: f:R^2->R^7 mit f(x,y)=(-x,y,x,y,-y,0,y) Nun, ich bin soweit: Der Kern: {(0,0)} Das Bild: {(-x,y,x,y,-y,0,y)\| x,y element R} So nun aber mein Problem: Die Basis von (-x,y,x,y,-y,0,y) ist einfach die kanonische Standardbasis ohne e6. Soweit so klar. Aber die Basis von (0,0)?? Ich habe keine Ahnung.
13.01.2010, 14:13	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basis von (0,0) Wie bist du denn auf den Kern gekommen? Der Nullvektor ist da ja immer drin. Wie sieht denn eine MAtrix aus, die diese Abbildung darstellt?
13.01.2010, 14:18	JoeM	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, der Kern einer Abbildung ist ja definiert dadurch, dass es die Menge der Werte ist, die man in die Abbildung einsetzt, um den Nullbektor zu erzeugen. Wikipedia: "Der Kern oder Nullraum einer Abbildung ist die Menge der Elemente, die auf die 0 oder allgemeiner das neutrale Element abgebildet werden." Und bei dieser Abbildung funktioniert das doch nur, wenn x=y=0 oder sehe ich das falsch?
13.01.2010, 17:07	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Es war einfach eine Rückfrage, um zu sehen, welche Gedanken du dir gemacht hast. $\begin{eqnarray} f:~\mathbb R^2 \to \mathbb R^7,\quad f(x,y)=(-x,y,x,y,-y,0,y) \end{eqnarray}$ Der Kern ist einfach der span des Nullvektors, sprich nur der Nullvektor. Das Bild ist ein UVR des R^7. Die Frage ist nun, welche Dimension hat der. 6 halte ich doch für etwas hochgegriffen. Wie bist du denn darauf gekommen? Rangsatz falsch angewendet? http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz
13.01.2010, 18:03	JoeM	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, ich verstehe nun echt nicht worauf du raus willst. Die Dimension von (-x,y,x,y,-y,0,y) ist ja wohl eindeutig 7 oder nicht? Laut Rangsatz hat dann aber der Kern gar keine Dimension mehr Das verwirrt mich jetzt. Aber das hat doch alles nichts mit meiner Frage zu tun oder?
13.01.2010, 19:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Dimension ist gar nicht "eindeutig 7", denn das kann nach dem Rangsatz nicht sein. $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ linear, dann ist $\begin{eqnarray} dim V=dim(ker(f))+dim(im(f)) \end{eqnarray}$
Anzeige

13.01.2010, 19:31	JoeM	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann erklärt mir doch bitte welche Dimension ein Vektorraum hat, dessen Elemente so aussehen: (-x,y,x,y,-y,0,y) und bitte geht mal auf meine Frage ein!
13.01.2010, 19:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, dass wir vielleicht auch noch anderes zu tun haben. Ein Vektor ist eindimensional. Deiner ist nur Element eines 7D-VR. Dieser VR hat den Buchstaben W. Der Urbildraum den Buchstaben V. Vielleicht verstehst du den Rangsatz nun besser?
13.01.2010, 19:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
@JoeM tun wir doch. 2 = dim V = dim ker + dim im = 0 + 2 also 2 . FALLS du den Kern richtig berechnet hast .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »