Relation symmetrisch und transitiv

13.01.2010, 15:05

Sete

Relation symmetrisch und transitiv

Wenn eine Relation symmetrisch und transitiv ist, dann ist sie auch reflexiv.

Beweis:

Sei ~ eine symmetrische und transitive Relation auf einer Menge X. Sei $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ beliebig. Sei $\begin{eqnarray*} y \in X \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} x~y \end{eqnarray*}$ . Wegen der Symmetrie gilt dann auch $\begin{eqnarray*} y ~ x \end{eqnarray*}$ . Damit folgt aufgrund der Transitivität $\begin{eqnarray*} x~x \end{eqnarray*}$ . Also ~ reflexiv.

Ist das so richtig?

Edit: Titel korrigiert. Realtion->Relation. Gruß, Reksilat.

13.01.2010, 15:11

Mazze

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Die Aussage ist im Allgemeinen falsch. Gegenbeispiel : $\begin{eqnarray*} M = \{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R = \{(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)\} \end{eqnarray*}$ dann ist R transitiv und symmetrisch, aber nicht reflexiv. Zumindest der gängigen Definition nach ist R reflexiv wenn gilt :

$\begin{eqnarray*} (x,x) \in R ~ \forall x \in M \end{eqnarray*}$

habt ihr eine davon abweichende Definition?

13.01.2010, 16:52

Sete

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Also unsere Definition ist so.

1)Ist ~ eine Äquivalenzrelation auf X, so heißt eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} Y\subset X \end{eqnarray*}$ Repräsentationssystem von ~ falls U[y] = X und $\begin{eqnarray*} [y_1]\neq [y_2] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y_1 \neq y_2 \in Y \end{eqnarray*}$ d.h. jede Äquivalenzklasse hat genau einen Repräsentanten aus Y

2)i) reflexiv, falls x ~ x $\begin{eqnarray*} \forall x \in X \end{eqnarray*}$
ii) symmetrisch, falls $\begin{eqnarray*} \forall x,y \in X \end{eqnarray*}$ gilt x~y $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ y~x
iii) transitiv, falls $\begin{eqnarray*} \forall x,y,z \in X \end{eqnarray*}$ gilt, dass x~y y~z x~z

Ja haben dann wohl die gleiche Definition für reflexiv Augenzwinkern

, also ist die Aussage falsch weil es nicht reflexiv ist.
Aber die symmetrie habe ich richtig ausgedrückt, denke ich mal. Wenn cih mir unsere Definition so ansehe dann zweifle ich eher an der transitivität. x~x.

13.01.2010, 16:55

Mazze

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Das ist alles soweit ok. Bei Transitivität hätte ich nur x~y y~z => x~z geschrieben. Dein Beweis sagt im Übrigen folgendes aus :

Ist $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \end{eqnarray*}$ und ist R symmetrisch und transitiv so gilt $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R, (y,y) \in R \end{eqnarray*}$ . Das ist natürlich ein Unterschied zu $\begin{eqnarray*} \forall x ~ (x,x)\in R \end{eqnarray*}$

13.01.2010, 17:06

Sete

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Gut das bei der Transitivität ist geändert, weil es so wirklich besser ist. Aber verstehe nicht wie du das meinst mit der zweiten Aussage. Also wo ich das geschrieben habe.

13.01.2010, 19:29

Mazze

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Hm, ich kann deinen Satz nicht so recht verstehen. verwirrt

13.01.2010, 21:17

Sete

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Deine Aussage:

Ist $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \end{eqnarray*}$ und ist R symmetrisch und transitiv so gilt $\begin{eqnarray*} (x,x) \in R, (y,y) \in R \end{eqnarray*}$ . Das ist natürlich ein Unterschied zu $\begin{eqnarray*} \forall x ~ (x,x)\in R \end{eqnarray*}$

und ich wollte wissen, wo ich das geschrieben habe. smile

13.01.2010, 21:33

Mazze

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Zitat:

und ich wollte wissen, wo ich das geschrieben habe. smile

Direkt im ersten Post

Zitat:

Sei ~ eine symmetrische und transitive Relation auf einer Menge X. Sei $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ beliebig. Sei $\begin{eqnarray*} y \in X \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} x~y \end{eqnarray*}$ . Wegen der Symmetrie gilt dann auch $\begin{eqnarray*} y ~ x \end{eqnarray*}$ . Damit folgt aufgrund der Transitivität $\begin{eqnarray*} x~x \end{eqnarray*}$ . Also ~ reflexiv.

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