Dimension von Unterräumen von Matrizen

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13.01.2010, 15:16	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension von Unterräumen von Matrizen Hallo! Ich hake im Moment auch an einer Aufgabe, da mir die Idee für den formalen Beweis fehlt Also: Gegen seien folgende Unterräume von M(n;IR) $\begin{eqnarray} U = \left\{ A \in M(n;\mathbb R ) \| A^{t} = A \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V = \left\{ A \in M(n;\mathbb R ) \| A^{t} = -A \right\} \end{eqnarray}$ Bestimme die Dimension von U und V und zeige, dass $\begin{eqnarray} U \oplus V = M (n;\mathbb R ) \end{eqnarray}$ gilt. Für U habe ich mir schon einige Beispiele gemacht und auf Zeilenstufenform gebracht, dabei konnte ich dann feststellen, dass dim U = n ist. Wie kann ich das denn allgemein beweisen? Ich weiß, dass a_ij = a_ji. Wenn ich aber allgemeine Matrix nehme und in ZSF bringen will, habe ich dann irgendwie ziemlich lange Terme. Ist das trotzdem der richtige Weg? Bei V habe ich irgendwie bisher gar keine Idee, wie ich das am besten zeige Bin wie immer für Tipps oder Hilfestellungen dankbar.
13.01.2010, 15:39	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, die Dimension erhälst Du wenn Du die maximale Anzahl linear Unabhängiger Vektoren hast. Die Dimension von U ist größer als n. Ich zeig Dir mal eine Basis für 3x3 von U : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Dimension von U für n = 3 ist also 6. Man müsste natürlich noch zeigen das diese Matrizen linear unabhängig sind und $\begin{eqnarray} U_{3x3} \end{eqnarray}$ erzeugen, das ist aber leicht. Vielleicht bekommst Du so ja schon eine Idee für allgemeine n und auch für V. Da muss man obige Basis nur etwas verändern (ein Paar Matrizen wegnehmen und hier und da eine 1 zu -1 ändern). Was den zweiten Teil angeht. Zunächst wäre zu zeigen $\begin{eqnarray} U \cap V = \{0\} \end{eqnarray}$ , was leicht ist. Danach musst Du dich nur noch erinnern das jede Matrix als Summe einer symmetrischen und schiefsymmetrischen Matrix geschrieben werden kann.
13.01.2010, 15:51	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ah danke, das hilft mir schonmal weiter Dann ist die dim U = 2n? Denn jedes U braucht ja Basisvektoren, die die Diagonalen darstellen (das sind dann n) und dann nochmal n, da ja "gespiegelt" wird durch die Transposition. Richtig so? Dann versuche ich mich mal an V weiter
13.01.2010, 15:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
2n ist auch falsch, bei Matrizen der Dimension 2 hat U die Dimension 3. Also mal als Folge notiert : n = 2 : dim(U) = 3 n = 3 : dim(U) = 6 n = 4 : dim(U) = 10 n = 5 : dim(U) = 15
13.01.2010, 15:58	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Es benötigt also die dim von (U-1) + n. Okay...ich versuch mich nochmal dran. danke
13.01.2010, 16:00	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst es rekursiv aufschreiben. Oder Du erkennst : $\begin{eqnarray} \dim(U) = n + \frac{n^2 - n}{2} \end{eqnarray}$
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13.01.2010, 16:22	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke, das ist mir jetzt klar geworden Bzgl V, wie kann ich da die Basisvektoren für die Diagonalen darstellen? Die sollen ja auf der Diagonalen auch das Vorzeichen ändern, aber das passt ja nicht mit dem Transponieren. Oder habe ich da einen Denkfehler?
13.01.2010, 16:24	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es schiefsymmetrische Matrizen geben, deren Hauptdiagonale nichtnull Elemente besitzt?
13.01.2010, 16:27	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn schiefsymmetrisch? Das hatten wir noch gar nicht...
13.01.2010, 16:27	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Matrix A heisst Schiefsymmetrisch wenn $\begin{eqnarray} A = -A^T \end{eqnarray}$ , also die Elemente von V nennt man auch Schiefsymmetrisch.
13.01.2010, 16:29	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, habe mal bei wikipedia geschaut Dann fallen die also weg und es bleiben quasi nur die restlichen übrig. Ist das auch rekursiv zu bestimmen, ja oder?
13.01.2010, 16:31	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Hauptdiagonalmatrizen fallen weg. Wie musst Du die anderen ändern? Was die Dimension angeht, der Ausdruck ist sehr ähnlich zu dem von U. Du musst das alles dann natürlich noch beweisen.
13.01.2010, 16:35	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Die sehen dann ja so aus: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 &... &...&0 \\ 1 & 0 & ... & ... & 0\\ 0 & ... & ... \\0 & ... & ...& ... & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dabei wandern dann z.b. die -1 weiter nach rechts, die 1 weiter nach unten. Und das ganze dann quasi noch mal "von innen", also 2. Zeile, 3. Spalte beginnt das usw.
13.01.2010, 16:38	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau.
13.01.2010, 16:43	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste dann der Ausdruck sein: $\begin{eqnarray} dim V = \frac{(n-1) - (n-1)}{2} \end{eqnarray}$ Passt das so?
13.01.2010, 16:45	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal hin was Du da geschrieben hast. Da steht 0, denn $\begin{eqnarray} (n - 1) - (n - 1) = 0 \end{eqnarray}$ . Du hast doch lediglich die n Hauptdiagonalmatrizen entfernt, welchen Teil der Formel musst Du dann nur wegnehmen?
13.01.2010, 16:49	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, also einfach $\begin{eqnarray} \frac{n^2-n}{2} \end{eqnarray}$ Stimmt ja wegen der Hauptdiagonalen Ich danke dir fürs viele Erklären und Helfen!! Jetzt ist es mir auch klar
13.01.2010, 16:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob Du wirklich verstanden hast ob die Formel richtig ist sieht man je eh dann beim Beweis

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