beliebiges Element aus einer Menge auswählen

13.01.2010, 17:40

Merlinius

beliebiges Element aus einer Menge auswählen

Ganz leichte Frage, aber irgendwie komm ich nicht drauf. Also folgender Sachverhalt:

Angenommen für alle $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x \in [x-\lambda, x+\lambda] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} f(x) > 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun möchte ich irgendeine Folge definieren:

$\begin{eqnarray*} a_n = \text{irgendein Elelemt aus}\{x \in [x-\frac{1}{n}, x+\frac{1}{n}]\ | f(x) \ > 1\} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht, was ich für dieses "irgendein Element aus" schreiben kann. Also nach Voraussetzung ist die Menge nicht leer. Allerdings heißt das ja nicht, dass sie ein Maximum oder Minimum besitzen muss, deshalb kann ich nicht einfach max{...} schreiben.

Jemand nen Tipp?

13.01.2010, 17:52

pseudo-nym

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Nun $\begin{eqnarray*} x \in [x-\lambda, x+\lambda] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist keine gute Idee, denn mit dem Bezeichner x ist schon ein Element aus dem Intevall benannt.

Mach doch dein Element von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ abhängig:

$\begin{eqnarray*} \forall \lambda > 0 \, \exists x_\lambda \in [x-\lambda, x+\lambda] : f(x_\lambda) > 1 \end{eqnarray*}$

So kannst du zum Beispiel ein Folge $\begin{eqnarray*} a_n = x_\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ definieren.
Hilft das schon?

13.01.2010, 19:15

Merlinius

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Ahhh, ja war natürlich nur ein Schreibfehler, hier die Berichtigung:

Zitat:

Original von Merlinius
Ganz leichte Frage, aber irgendwie komm ich nicht drauf. Also folgender Sachverhalt:

Angenommen für alle $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x \in [s-\lambda, s+\lambda] \subset \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} f(x) > 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun möchte ich irgendeine Folge definieren:

$\begin{eqnarray*} a_n = \text{irgendein Elelemt aus}\{x \in [s-\frac{1}{n}, s+\frac{1}{n}]\ | f(x) \ > 1\} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht, was ich für dieses "irgendein Element aus" schreiben kann. Also nach Voraussetzung ist die Menge nicht leer. Allerdings heißt das ja nicht, dass sie ein Maximum oder Minimum besitzen muss, deshalb kann ich nicht einfach max{...} schreiben.

Jemand nen Tipp?

Mhh, ich weiß nicht. Ist die Folge jetzt schon wohldefiniert, die du vorschlägst?

Es ist ja nicht gesagt, dass es nur ein solches $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu jedem $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gibt und daher kann man doch jetzt gar nicht sagen, was z.b. das 5. Folgenglied ist. Oder ist das eine saubere Definition?

13.01.2010, 19:24

pseudo-nym

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Naja also ich würde das so auffassen das in der Vorraussetzung schon ausgewählt wurde, aber wenn man ganz genau sein will, dann definiert man:

$\begin{eqnarray*} X_\lambda = \{ x \in [s-\lambda, s+\lambda] \vert f(x) > 0 \} \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
nimmt sich ein $\begin{eqnarray*} x_\lambda \in X_\lambda \end{eqnarray*}$ und definiert wieder $\begin{eqnarray*} a_n = x_\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Wenn man fragen darf: Für was brauchst du das denn?

13.01.2010, 19:45

Merlinius

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Für einen Widerspruchsbeweis zum Thema Stetigkeit. Die Ungleichung lautet in meinem Beweis natürlich etwas anders, ich hab es aufs Wesentliche reduziert in meiner Frage.

Danke für deine Antwort!

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