Dimension

13.01.2010, 18:01	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension Hallo! Ich grübele auch an dieser Aufgabe ziemlich lange herum, ohne dass mir ein wirklich sinnvoller Lösungsansatz einfällt: Sei W ein Unterraum von M(n; IR), der von allen Matrizen der Form AB - BA erzeugt wird, wobei $\begin{eqnarray} A, B \in M(n;\mathbb R ) \end{eqnarray}$ . Bestimme die Dimension von W. Die Dimensionsformel bringt mir dabei nichts, oder? Da ich ja keine 2 Unterräume oder eine Abbildung habe. Habt ihr vielleicht einen Tipp? Vielen Dank schonmal! Liebe Grüße
14.01.2010, 15:36	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension Hi Kaninchen, Schau Dir mal die kanonische Basis von M(n,IR) an (also n² Matrizen, die überall Nullen und nur je an einer Stelle eine Eins haben) und versuche Vektoren daraus mit Hilfe geeigneter Matrizen in der Form AB-BA darzustellen. Gruß, Reksilat.
15.01.2010, 18:17	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Huhu, also an ein paar Beispielen habe ich mir das verdeutlicht und dabei kam ich bisher auch zu dem Schluss, dass die Summe der Diagonaleinträge = 0 sein muss. Stimmt das so?
15.01.2010, 18:25	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Liegt an den Eigenschaften der Spur einer Matrix. Das hilft jetzt aber nicht direkt, da ich nicht sehe, wie man aus Spur(X)=0 schließen soll, dass es A, B gibt mit X=AB-BA. Aber damit kann man sich gut überlegen, wie die oben von mir angeregte Basis aussehen kann. Man braucht wirklich nur einige Vektoren der Standardbasis des M(n,IR) und noch ein paar einfache Linearkombinationen. Gruß, Reksilat.
15.01.2010, 19:53	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau mal, kann es sein, dass das irgendwie so ausschauen müsste: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -n/2 & ... & ... &...&..&....\\... & ...& ...&...&...&...\\ ... &... & -1 &...&...&...\\ ...&... &... & 1&...&... \\ ... & ...&...&...&... & n/2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Was bei den ganzen ... dann stünde, wäre ja egal. Bin ich da auf dem richtigen Weg?
15.01.2010, 19:59	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch nur eine Matrix. Einfach eine Matrix mit Spur 0 basteln kann ich auch. Wir brauchen aber eine Basis von M(n,IR) und da sind dann weit mehr als nur eine Matrix drin. Schau vielleicht mal auf den Raum der 2x2-Matrizen. Eine Basis dafür sieht so aus: $\begin{eqnarray} e_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad e_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \quad e_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad e_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Lässt sich eine oder mehrerer diese Matrizen als ein Produkt AB-BA schreiben?
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16.01.2010, 11:10	Kaninchen	Auf diesen Beitrag antworten »
e2 und e3 ergeben für A, B eingesetzt eine Matrix, deren Spur = 0 ist. Aber hilft mir wahrscheinlich auch nicht weiter, oder? Eine von den Matrizen, die gleich AB-BA ist, habe ich bisher nicht gefunden, aber ich versuche es weiter.
16.01.2010, 13:38	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso hilft Dir das nicht weiter? Damit hast Du doch schon eine Matrix, die in W liegt. Vielleicht habe ich auch den Ansatz etwas ungünstig formuliert, denn wie man sich überlegen kann, reicht es, sich die Matrizen $\begin{eqnarray} e_ie_j-e_je_i \end{eqnarray}$ für alle Basisvektoren $\begin{eqnarray} e_i,e_j \end{eqnarray}$ anzuschauen. Diese spannen dann den ganzen Unterraum W auf. (Überlege Dir, warum das gilt!) u kannst aber auch erst mal noch mit n=2 weitermachen und Dir überlegen, welche Matrizen AB-BA Du mit den vier Basismatrizen erzeugen kannst. Da sieht man auch sehr schön, wie das dann allgemein funktionieren wird. Gruß, Reksilat.

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