Darstellungsmatrix abhängig von der Reihenfolge der Berechnung?

13.01.2010, 18:13

Icewind

Darstellungsmatrix abhängig von der Reihenfolge der Berechnung?

Hallo

Ich habe ein Problem, das ich am besten mit einem Beispiel hier veranschauliche.

$\begin{eqnarray*} f: A->B, f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x-y \\ 0 \\ 2x-y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Basen von A sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Basen von B sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}= 2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}= -1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+1\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{A,B}(f)=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist meine Berechnung richtig? Weil wenn ich mit dieser Matrix nen Vektor berechne, stimmt der nicht mit dem von f berechneten überein, aber ich finde keinen Fehler. Hab alles nach Vorlesung gemacht

EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen im Code (klarsoweit)

13.01.2010, 18:16

jester.

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Erstmal sind das keine Basen (Plural!), die du angegeben hast, sondern nur jeweils eine Basis. Und ich bezweifle, dass die Abbildung von A nach B gehen soll, denn was für Mengen sind das und welche Vektorraumstruktur ist auf ihnen definiert?

Dass du nicht das Ergebnis erhältst, dass du erwartest, könnte daran liegen, dass du bei Multiplikation eines Vektors mit deiner Darstellungsmatrix das Ergebnis als Koordinaten bezüglich der Basis erhältst, die du vorher festgelegt hast.

13.01.2010, 18:47

Icewind

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ok, Basis

und die Darstellungsmatrix geht von V (Menge der Basisvektoren von A:= R^2) nach W (Menge der Basisvektoren von B:=R^3)

dann will ich jetzt als Basis von B die kanonische Basis wählen.

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}=1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\-1 \end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-1\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit

$\begin{eqnarray*} D_{V,W}(f)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was richtige Ergebnisse liefert.

Wenn ich oben jetzt aber was vertausche.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}=1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\-1 \end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}-1\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+0\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

erhalte ich
$\begin{eqnarray*} D_{V,W}(f)=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
was falsche Ergebnisse liefert.

Woher weiß ich, ob ich die Reihenfolge der Basis richtig gewählt habe??? (wenn die Basis mal nicht so schön ist)

14.01.2010, 09:07

klarsoweit

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Zitat:

Original von Icewind
und die Darstellungsmatrix geht von V (Menge der Basisvektoren von A:= R^2) nach W (Menge der Basisvektoren von B:=R^3)

Du mußt schon etwas auf deine Formulierung achten. Die Abbildung operiert nicht auf einer Menge von Basisvektoren, sondern von einem Vektorraum (hier R²) auf einen anderen Vektorraum (hier R³), die jeweils von einer Familie von Basisvektoren aufgespannt werden.

Zitat:

Original von Icewind
Woher weiß ich, ob ich die Reihenfolge der Basis richtig gewählt habe??? (wenn die Basis mal nicht so schön ist)

Die Reihenfolge der Basisvektoren muß vorgegeben werden, sonst ist die Basis (in der es eben auch auf die Reihenfolge der Vektoren ankommt) nicht wohldefiniert.

17.01.2010, 23:25

Icewind

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ok, danke. das mit der Reihenfolge war mir wichtig.

Eine Frage noch: Wie gewinne ich die Funktion f aus einer gegebenen Matrix zurück? (Link zu einer HP würde mir schon reichen, oder ne kurze, aber genaue erklärung)

danke
Manuel

18.01.2010, 16:26

Reksilat

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Die Frage ist doch, wie Du die Funktion überhaupt angeben willst. Dazu brauchst Du ja auch immer eine Basis. Oben war das eben die Standardbasis.
Am einfachsten geht es natürlich, wenn Du sie bezüglich der Basen angibst, bezüglich welcher die Matrix geschrieben ist. Willst Du sie bezüglich einer anderen Basis angeben, musst Du das eben erst umrechnen. Siehe dazu: [Artikel] Basiswechsel

Gruß,
Reksilat.

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