Determinanten ausrechnen

13.01.2010, 19:00	Hellboy256	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinanten ausrechnen Es sei n eine postitive ganze Zahl. Berechnen Sie die Determinante der nxn-Matrix A mit A_(ij):= (i-1)*n+j, 1<=i,j<=n Gut ich hab hier zunächst einfach mal eingesetzt und kom auf: n=1 A=1 det(A)=1 n=2 A: 1 2 3 4 det(A)=-2 n=3 A: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 det(A)=0 n=4 A: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 det(A)=0 und dann krieg ich immer nur mehr für die Determinante 0 raus mir fehlt nur die Erklärung dafür...
13.01.2010, 23:47	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinanten ausrechnen Vielleicht geht es auch eleganter (wenn ja, dann sehe zumindest ich das jetzt nicht auf Anhieb), aber eine Möglichkeit wäre, für n größer gleich 3 die Matrix durch elementare Zeilenumformungen (durch die die Determinante sich nicht ändert) in eine eine obere Dreiecksmatrix zu überführen. Dann ergibt sich ja die Determinante aus dem Produkt der Einträge auf der Hauptdiagonalen und das könnte man dann leicht ausrechnen (ist dann immer null). Das sind im Grunde nur drei Schitte. Man könnte die nxn-Matrix ja zunächst mal allgemein hinschreiben: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ n+1 & n+2 & ... & 2n \\ 2n+1 & 2n+2 & ... & 3n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \\ (n-1)n+1 & (n-1)n+2 & ... & n^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt von jeder Zeile die erste Zeile abziehen, also $\begin{eqnarray} Z_i \rightarrow Z_i - Z_1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 2 \leq i \leq n \end{eqnarray}$ . Dann ergibt sich: $\begin{eqnarray} A^ = \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ n & n & ... & n \\ 2n & 2n & ... & 2n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \\ (n-1)n & (n-1)n & ... & (n-1)n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun sieht man, dass die Zeilen 2-n paarweise linear abhängig sind. Also kann man bis auf eine Zeile diese allesamt eliminieren, bzw. in Nullzeilen überführen. Versuch das mal durch geeignete Zeilenumformungen (Subtraktionen). Danach bleibt nur noch ein Schritt bis zur oberen Dreiecksmatrix. Dieser Weg geht natürlich nur, wenn ihr das mit der Determinante von Dreiecksmatrizen bereits in der VL hattet. Dass das nur für n größer gleich 3 so funktioniert (für n=1,2 ist die Det ja ungleich null), liegt natürlich daran, dass sich auf diese Art und Weise genau (n-1) linear abhängige Zeilen ergeben und man ja mindestens zwei linear abhängige Zeilen braucht, damit sich eine Nullzeile ergibt. Also muss n größer gleich 3 sein. Nachtrag: Eigentlich reicht es ja auch schon, wenn man nachgewiesen hat, dass die Matrix keinen vollen Rang hat.

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