Koordinatentransformation

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Luk Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation
Hallo zusammen, bin neu hier!

Ich hätte einige Unklarheiten in Sachen Koordinatentransformationen.
Folgende Aufgabe soll ich lösen:

Gegeben sind das Standard-Koordinatensystem E und das affine Koordinatensystem

im R^3 sowie die lineare Abbildung : R^3 -> R^3: v -> Av mit

Geben sie die Koordinatentransformationen E_K_F und F_K_E sowie die Beschreibung der Abbildung bzgl. des Koordinatensystems F an.


1.) Also zunächst mal: E_K_F stellt doch einfach nur Koordinaten aus E in F dar oder?
Dann besteht doch E_K_F direkt aus den Spalten der Matrix
oder? und andersrum ist ja dann F_K_E einfach nur die Inverse davon. Richtig?
Und wo wäre dann hier der Unterschied zu "Darstellenden Matrizen", die mir auch Vektoren einer Basis in einer anderen Basis darstellen?

2.) Muss ich für den zweiten Teil dann F mit meiner linearen Abbildung abbilden? D.h. einfach: F-> AF ? das wäre ja dann nur eine Matrizenmultiplikation !? oder muss ich einzelne Spaltenvektoren von F abbilden und diese ergeben mir die neuen Spaltenvektoren?

Bitte um Rat! Gruß Luk
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatentransformation
Mir ist nicht klar, warum F von 4 Vektoren aufgespannt wird.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Da es sich um ein affines Koordinatensystem handelt, gibt der erste Vektor die Lage des Nullpunktes an. Dieser ist durch ein Semikolon von den 3 Basisvektoren abgetrennt.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 1:
Wenn die Koordinaten bezüglich der Standardbasis sind und die Koordinaten bezüglich des neuen Koordinatensystem, dann muss gelten



Umstellen nach ergibt die neuen Koordinaten als Funktion der Standardkoordinaten, also



Aufgabe 2:
Wir solen die Abbildung y=Ax in den neuen (gestrichenen) Koordinaten ausdrücken. Das Original x und das Bild y lauten in den neuen Koordinaten




Setze dies in y=Ax und bringe es durch "Umstellen" auf die Gestalt y'=A'x'. Dabei wird klar, dass die transformierte Abbildung A' keine "reine" Matrix ist.
Luk Auf diesen Beitrag antworten »

Also da ist mir schon bei der Aufgabe 1 noch einiges Unklar:

1.) Hat diese Teilaufgabe jetzt überhaupt was mit meiner Linearen Abbildung zu tun?

2.) du hast einmal und dann noch . ich nehme mal an,dass soll das gleiche sein oder?

3.) Wenn ich diese Formel umforme, erhalte ich aber trotzdem kein in der Klammer !?
Und das in dieser Gleichung ist doch , muss das dann nicht
sein? Oder wäre dann , weil es ja der Nullpunkt meines Koordinatensystems x' ist?

4.) Versteh ich das hier richtig: Ich hab ein Standart-Koordinatensystem A mit Nullpunkt , und ein zweites Koordinatensystem, dessen Nullpunkt um den Vektor bezüglich A verschoben ist, und das durch F aufgespannt wird, also die Koordinatenachsen eventuell (oder sicher?) auch noch in andere Richtungen verlaufen ?

Wenn ich das richtig verstanden hab, sieht doch aber die Gleichung dann so aus:


Weil man muss ja schließlich verändern, um auf zu kommen?!

5.) Meine Koordinatentransformation ist dann nicht nur eine Matrix? sondern die Gleichung die ich umstelle (oder auch nicht) ?
Dann wäre ja der Unterschied zu Darstellenden Matrizen klar, weil wir dort ja keine Koordinatensystem-Verschiebung haben, hier in unserem Fall ja aber schon.

Bitte um Hilfe Gott
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

zu Frage (1)
Die Teilaufgabe 1 hat nur etwas mit Koordinatentransformationen zu tun - nicht mit Abbildungen.

zu Frage (2)
Tatsächlich habe ich einen Schreibfehler gemacht: Wenn ich schreibe (x,y,z), meine ich (x1,x2,x3).

zu Frage (3) und (4)
Auch hier ist leider ein Schreibfehler. Es muss heißen

, also in der Klammer steht nicht , sondern .
Es ist ziemlich gleichgültig, ob du den Vektor (2,2,1) nun mit oder bezeichnest. Man kann auch einen andere Bezeichnung wählen. Wesentlich ist, dass dieser Vektor die Lage der Ursprungs des neuen, afiinen Koordinatensystems K' aus Sicht des alten Standardkoordinatensystems K angibt.

Stell dir einen "absoluten Vektor" vor, z.B. die Koordinaten einer Fliege im Büro. Nun habe wir zwei Koordinatensysteme: Erstens das Standardkoordinatensystem mit der Basis e1=(1|0|0), e2=(0|1|0), e2=(0|0|1) und ein zweitens Koordinatensystem, dessen Nullpunkt aus Sicht des Standardkoordinatensystems bei (2|2|1) liegt und dessen Basisvektoren lauten f1=(-2|2|-3), f2=(3|-3|4), f3=(2|-3|3). Dann lautet ein und dieselbe "Position der Fliege" bezüglich beider Koordinatensysteme




zu Frage (5)
Tatsächlich ist die Abbildung A' aus Sicht des affinen Koordinatensystems keine "reine" Matrix, sondern entält noch eine additive Konstante. Das habe ich in meinem ersten Beitrag geschrieben. Dort steht auch, wie man die Abbildung A' im System K' bekommt.
 
 
Luk Auf diesen Beitrag antworten »

Super, also das erste ist mir jetzt klar geworden. Ist ja eigentlich gar nicht schwer smile

So jetzt aber noch was zum zweiten:

Ich weiß jetzt, dass meine Koordinatentransformation E_K_F Koordinaten aus E in F umwandelt.
Die Lineare Abbildung lautet ja folgendermaßen:
Dem Verständnis halber dann also: Urbild --> Bild

Das heißt doch aber dann, dass ich mein v in der Linearen Abbildung durch die Koordinatentransformation ersetze, und zwar auf beiden Seiten gleichermaßen oder?

Das wäre doch dann: und nicht einmal links ein y und rechts ein x oder ? Oder ging es hier nur um Formaliäten um das ganze besser verstehen zu können?
So wie ich das verstanden habe, ensteht das Bild zu einem beliiebigen Urbild schlicht aus Multiplikation mit meiner Matrix A !?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Korrekt: Wenn man eine Abbildung y=Ax hat und sucht dieselbe Abbildung bezüglich neuer Koordinaten, also nachdem man die Koordinatentransformation x'=Fx und y'=Fy durchgeführt hast, dann bildet man die inverse Transformation bzw. und setzt diese in die usprünglich Abbildung y=Ax ein. Das ergibt



Wendet man auf diese Gleichung die Matrix F an, erhält man

, also y'=A'x' mit

Dabei ist A' die Matrix A in neuen Koordinaten.
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