Extremwertaufgabe Rauminhalt Kegel - Seite 2

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13.01.2010, 21:50	Schüler12	Auf diesen Beitrag antworten »
Joa hört sich nicht schlecht an....wenn du sie mir erklärst??
13.01.2010, 21:51	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhhhh....ich nehme alles zurück, ihr habt ja nur den einen Punkt vom Dreieck über f(x) bestimmt und gar keine Funktion dafür bestimmt. Ok, sorry, ich hatte die Aufgabe falsch im Kopf
13.01.2010, 21:52	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Upps, ich dachte, das wäre klar... Hier kannst du den Punkt P sehen, er ist der Schnittpunkt von Parabel und Gerade im 1. Quadranten. x = 2/3, und wie lautet f(x) ? Das ist nämlich der Radius des Kegels... edit: @Iorek An Rotationsvolumen hatte ich auch zunächst gedacht und mich deshalb erst mal aus dem Thread rausgehalten. Aber dann fiel mir ein, dass man die Geschichte auch anders lösen kann....
13.01.2010, 21:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Dabei ist das Rotationsvolumen sowas schönes... @Schüler, mach dir mal keinen Kopf wenn ihr das noch nicht hattet, das Rotationsvolumen wurde bei uns auf der Schule nur im LK behandelt, und ist auch sonst nicht allzu wichtig.
13.01.2010, 22:00	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Iorek, wenn du willst, kannst du das Rotationsvolumen ausrechnen, die Geradengleichung kannst du ja auf der Grafik sehen... Würde mich interessieren, ob in der Tat das Gleiche rauskommt wie mit der guten alten Volumenformel...
13.01.2010, 22:10	Schüler12	Auf diesen Beitrag antworten »
ok alles klar ich komm auf rund 8,83
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13.01.2010, 22:11	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit man das Ergebnis nicht direkt sehen kann... $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{n^i} + 8.825 \end{eqnarray}$ Edit: Gut, dann hätte ich mir das mit der Nullfolge auch sparen können, mit dem Rotationsvolumen kommt $\begin{eqnarray} \frac{2048\cdot \pi}{729}\approx 8.82576 \end{eqnarray}$
13.01.2010, 22:14	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Ergebnis ist $\begin{eqnarray} V = \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\frac{16}{9})^2\cdot \frac{8}{9} = 8,8257... \end{eqnarray}$ edit: Hatte eine falsche Formel erwischt...
13.01.2010, 22:24	Schüler12	Auf diesen Beitrag antworten »
naja die rechnung mit dem Volumen ist am einfachsten und führt auch zum richtigen ergebnis ok dankeschön ich werde dann mal gehen gute nacht
13.01.2010, 22:37	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis denn, hat Spaß gemacht
13.01.2010, 23:59	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihr werdet lachen! Ich hab mit ca. 50 Jahren angefangen, Rotationsvolumina mittels Integral zu berechnen, weil ich das Thema äußerst spannend fand. Nun hatte ich ein Kompendium, mit dem ich unheimlich gut klargekommen bin, bis auf das Beispiel der Rotationsvolumen. Denn dies war im Buch total verkehrt. Sie haben die Integrationsformel hingeschrieben, aber in der Beispielaufgabe wurde das Integrieren vergessen. Und nun stehst du als "Schüler" da, und sollst es verstehen. So bin ich angefangen, und habe Stück für Stück erst lineare Funktionen integriert (Kegel, Kegelstumpf), bis hin zu parabelförmigen Gebilden (Sektglas etc.). Man soll nicht glauben, wie leicht es einem dann fällt, hat man es erst einmal gefressen. Dann macht die praktische Anwendung auch richtig Spaß. LGR
14.01.2010, 08:04	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man es verstanden hat , ist das auch eine sehr nützliche Sache, zumal man damit dann auch das Volumen von Körpern bestimmen kann, die nicht so regelmäßig wie in diesem Beispiel der Kegel sind.
14.01.2010, 10:39	sulo	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, Rotationsvolumen kann ich auch ausrechnen, wenn es denn sein muss, allerdings fehlt mir die Routine und ein wenig die Begeisterung. Und weil ich mir hier ja aussuchen kann, welche Aufgabentypen ich rechne, suche ich mir das aus, was mir Spaß macht. Ich muss mich schon beruflich auch mit Dingen auseinandersetzen, die mich vielleicht nicht so interessieren, die ich aber verstehen und weitergeben muss. Von daher verzeiht mir meine geistige Faulheit bezüglich der Integration.
15.01.2010, 01:23	Mathewolf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, da die Aufgabe mittlerweile ja gelöst worden ist, kann man ja jetzt eine Musterlösung angeben. Es wurden zwei Lösungswege aufgezeigt, um zu der zu untersuchenden Volumenfunktion zu gelangen. Über Rotationskörper (Integralrechnung): Die Ecken des rotierenden Dreiecks sind die Punkte $\begin{eqnarray} A(-2\|0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} B(u\|0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P\in\Gamma_v:=\left\{(u,v)\,\|\,v=2-\frac12v^2\right\} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} D_v:=]-2,2[ \end{eqnarray}$ durch die Nullstellen von $\begin{eqnarray} v(u) \end{eqnarray}$ gegeben ist. Das Volumen erhalten wir durch Rotation einer Geraden durch die Punkte A und P und erhalten so folgende Geradenschar: $\begin{eqnarray} g_u(x)= \frac{2-\frac12u^2}{u+2}\,(x+2). \end{eqnarray}$ Eingesetzt in die Volumenformel $\begin{eqnarray} V_{rot} = \pi\int\limits_{x_1}^{x_2}\|f(x)\|^2\, dx \end{eqnarray}$ erhalten wir $\begin{eqnarray} V(u) = \pi\,\frac{\left(2-\frac12u^2\right)^2}{(u+2)^2}\int\limits_{-2}^u(x+2)^2\, dx<br /> \overset{z:=x+2}{=} \pi\,\frac{\left(2-\frac12u^2\right)^2}{(u+2)^2}\int\limits_0^{u+2}z^2\, dz<br /> = \frac{\pi}3\left(2-\frac12u^2\right)^2(u+2) \end{eqnarray}$ Über Haupt- und Nebenbedingung (ohne Integralrechnung): Zu untersuchen ist die Änderung des Kegelvolumens bei Variation der Punkte B und P. D.h. die Hauptbedingung erhalten wir aus der Volumenformel des Kegels $\begin{eqnarray} V_k = \frac{\pi}3\,r^2h \end{eqnarray}$ . Es existieren zwei Nebenbedingungen: 1. $\begin{eqnarray} r:=2-\frac12u^2 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} h:=u+2 \end{eqnarray}$ Einsetzen in die Hauptbedingung ergibt die Volumenfunktion $\begin{eqnarray} V(u)=\frac{\pi}3\left(2-\frac12u^2\right)^2(u+2) \end{eqnarray}$ Bestimmung des Maximums: $\begin{eqnarray} V'(u) = \frac{\pi}3\,\left[\left(2-\frac12u^2\right)^2-2u\left(2-\frac12u^2\right)(u+2)\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V''(u) = \frac{\pi}3\,\left[-2u\left(2-\frac12u^2\right)-2\left(2-\frac12u^2\right) -u\right]<br /> = \frac{\pi}3\left(u^3+u^2-5u-4\right). \end{eqnarray}$ Für ein Maximum gilt $\begin{eqnarray} V'(u)=0\ \Rightarrow 0=\frac{\pi}3\,\left[\left(2-\frac12u^2\right)^2-2u\left(2-\frac12u^2\right)(u+2)\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 0=\left(2-\frac12u^2\right)^2-2u\left(2-\frac12u^2\right)(u+2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 0=\left(2-\frac12u^2\right)\left(2-\frac12u^2-2u^2-4u\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 0=\left(2-\frac12u^2\right)\left(-\frac52u^2-4u+2\right) \end{eqnarray}$ Damit erhalten wir vier Lösungen: $\begin{eqnarray} u_{1,2}=\pm 2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_{3,4}=-\frac45\pm\frac65 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{1,2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_3=-\frac45-\frac65=-2 \end{eqnarray}$ liegen nicht im Definitionsbereich von $\begin{eqnarray} v(u) \end{eqnarray}$ . Lediglich $\begin{eqnarray} u_4=-\frac45+\frac65=\frac25 \end{eqnarray}$ liegt im Definitionsbereich. $\begin{eqnarray} V''\left(\frac25\right)<0\ \Rightarrow\ \end{eqnarray}$ bei $\begin{eqnarray} \frac25 \end{eqnarray}$ liegt ein Maximum. $\begin{eqnarray} V\left(\frac25\right)\approx 9,26 \end{eqnarray}$ ist das maximale Volumen, das der Rotationskörper einnehmen kann. Bemerkung: Regula falsi ist für die Lösung also nicht notwendig

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