Koeffizientenbestimmung

14.01.2010, 09:55	Einhörnchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizientenbestimmung Hallo zusammen! Ich habe in Heuristik/Problemlösen folgende Aufgabe erhalten: Der Ausdruck (...(((x-2)^2 -2)^2 -2)^2 -...-2)^2 n-mal wird ausmultipliziert und gleichnamige Glieder werden zusammengefasst. Bestimmen Sie den Koeffizienten von x^2 . Anmerkung: Unter dem gesamten Ausdruck müsst ihr euch eine geschweifte Klammer vorstellen, unter der "n-mal" steht. Als erstes habe ich versucht den oben stehenden Ausdruck einmal auszumultiplizieren, aber leider bringt mich das nicht weiter. Kann mir jemand weiterhelfen?? Vielen Dank für eure Hilfe :-)
14.01.2010, 10:58	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die "Pünktchendarstellung" mag ja schön und gut sein, für übersichtlich strukturierte Überlegungen zum Problem ist dann aber eine rekursive Darstellung vorzuziehen. Im vorliegenden Fall wären da die Funktionen $\begin{eqnarray} f_1(x) = (x-2)^2 = x^2-4x+4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f_{n+1}(x) = (f_n(x)-2)^2 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ . () zu betrachten, speziell wird nach dem Koeffizienten von $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ gefragt. Da bietet es sich an, alle höheren Potenzen abzutrennen, also den Ansatz $\begin{eqnarray} f_n(x) = x^3g_n(x) + a_nx^2 + b_nx+c_n \end{eqnarray}$ zu betrachten. Als erstes fällt auf, dass $\begin{eqnarray} c_n=4 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gilt, das kann man dann ja gleich so verwenden. In die Iterationsgleichung () eingesetzt folgen weitere (zunächst rekursive) Erkenntnisse über $\begin{eqnarray} a_n,b_n \end{eqnarray}$ ...
14.01.2010, 20:52	Einhörnchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, du meinst also, dass ich die Pünktchendarstellung zur Berechnung von x^2 "weglassen" kann? Habe ich dich richtig verstanden? Hab dann aber noch eine Frage: wie berechne ich dann f_n(x)? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch! Ist es dann richtig, dass wenn ich f_n(x) berechnet habe, dies in f_n+1(x) einsetze,oder??
14.01.2010, 21:31	Einhörnchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dich richtig verstanden habe, wird die Pünktchendarstellung allgemein durch f_n(x) ausgedrückt,oder? Ich stehe allerdings noch auf dem Schlauch, wie ich f_n(x) berechnen soll und speziell x^3 g_n(x). Würdest du mir da nochmal weiterhelfen,bitte?
14.01.2010, 22:43	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} g_n(x) \end{eqnarray}$ steht nur für ein Polynom, und zwar verbunden mit dem Vorfaktor $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ beschreibt es die Potenzen dritter und höherer Ordnung deines Polynoms $\begin{eqnarray} f_n(x) \end{eqnarray}$ . Die genaue Gestalt von $\begin{eqnarray} g_n(x) \end{eqnarray}$ ist für die vorliegende Frage völlig unerheblich. Wenn du so vorgehst, wie von mir oben vorgeschlagen, dann bekommst du nach Ausmultiplizieren sowie Koeffizientenvergleich die von mir bereits erwähnte rekursive Darstellung von $\begin{eqnarray} (a_{n+1},b_{n+1}) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} (a_n,b_n) \end{eqnarray}$ , denn Wert $\begin{eqnarray} c_n=4 \end{eqnarray}$ hatte ich ja ebenfalls schon genannt. So, und jetzt streng dich mal selbst an: Mit dem Skizzieren des Lösungsweg habe ich bereits euren Anspruch "Heuristik/Problemlösen" bei dieser Aufgabe zum großen Teil untergraben - es wird Zeit, dass du selbst was tust.

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