Standgruppe, Normalteiler, Bahn

14.01.2010, 15:32	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Standgruppe, Normalteiler, Bahn Hallo. Ich komme mit einigen Begriffen noch nicht ganz klar. Ich weiß zwar die Definitionen, kann mir aber nichts darunter vorstellen. Normalteiler: Eine Untergruppe N $\begin{eqnarray} N \le G \end{eqnarray}$ heißt normal, wenn die folgenden äquivalenten Aussagen gelten: (i) $\begin{eqnarray} \forall x \in G: xN=Nx \end{eqnarray}$ ; (ii) $\begin{eqnarray} \forall x \in G: \forall g \in N: xgx^{-1} \in N \end{eqnarray}$ Zentrum: $\begin{eqnarray} Z(G)=\{g \in G: \forall x \in G: gx=xg\} \end{eqnarray}$ Sei M eine G-Menge, sei x in M. a) $\begin{eqnarray} G_x=\{g \in G: gx=x\} \end{eqnarray}$ ist Untergruppe von G, genannt die Standgruppe (Stabilisator, Isotropiegruppe) von x b) $\begin{eqnarray} Gx=\{gx: g \in G\} \subset M \end{eqnarray}$ heißt die G-Bahn von x. Für mich sind die obigen Begriffe bisher nur leere Definitionen. Ich sehe nur bestimmte Teilmengen einer Gruppe. Welche Bedeutung haben diese Begriffe? Kann man sich das irgendwie vorstellen? Hat vielleicht jemand ein gutes, anschauliches Skript oder link, der mir weiterhelfen könnte? Über eine Antwort würde ich mich freuen, frieder
11.02.2010, 10:21	Jeba	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Standgruppe, Normalteiler, Bahn Hallo, ich habe das gleiche Problem, kann mir nichts darunter vorstellen. Hat wirklich niemand eine Antwort/Link? Wäre super!! Liebe Grüsse jeba
11.02.2010, 13:27	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Standgruppe, Normalteiler, Bahn Hi Ihr zwei, Eine solche Beschreibung zu geben ist allgemein nicht leicht, da das Gefühl für solche Strukturen erst mit der Übung kommt. Ich versuch mal ein paar Worte aufzuschreiben: Ein Normalteiler ist ja nichts anderes als ein Untergruppe, nur dass hier die Rechts- und die Linksnebenklassen übereinstimmen müssen. Dass man solche Strukturen besonders betrachtet liegt daran, dass die Menge der Nebenklassen einer Untergruppe $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ genau dann wieder selbst eine Gruppenstruktur hat, wenn $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ normal in G ist. Wenn man in einer Gruppe einen Normalteiler $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ findet, dann kann man die Gruppe quasi zerlegen in die kleineren Strukturen $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G/N \end{eqnarray}$ (Faktorgruppe nach $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ ). Dies wird in Beweisen unter anderem dazu verwendet, um eine Induktion nach der Gruppenordnung durchzuführen. Das Zentrum besteht einfach aus den Elementen, die mit allen anderen Gruppenelementen vertauschen. Falls eine Gruppe nicht abelsch ist und $\begin{eqnarray} Z(G)\neq 1 \end{eqnarray}$ ist, dann hat man im Zentrum schon mal einen wirklich schönen Normalteiler gefunden. Zu Stabilisator und Bahn: Früher wurden endliche Gruppen als Menge von Permutationen auf $\begin{eqnarray} \{1,..,n\} \end{eqnarray}$ eingeführt - mittlerweile verwendet man den axiomatischen Ansatz, aber in Bezug auf Gruppenoperation/-wirkung kann man das ruhig im Hinterkopf behalten. Wenn $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ operiert, so heißt das nichts anderes, als dass die Elemente von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ die Elemente von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ vertauschen. Das $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ -Element von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ lässt alle Elemente aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ fest, jede Permutation aus $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ kann durch eine andere Permutation aus $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ wieder rückgängig gemacht werden und die Hintereinanderausführung zweier Permutationen liegt wieder in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Der Stabilisator von $\begin{eqnarray} x\in M \end{eqnarray}$ besteht nun aus den Elementen von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht verändern und die Bahn von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sind alle Elemente aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , auf die $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ unter $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ abgebildet werden kann. Beispiel: $\begin{eqnarray} M=\{1,2,3,4\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G=\{id.,(1,2),(3,4),(1,2)(3,4)\} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} G_1=\{id.,(3,4)\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G1=\{1,2\} \end{eqnarray}$
11.02.2010, 15:48	Jeba	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Standgruppe, Normalteiler, Bahn Super, vielen Dank für die Erklärung. Es ist schon ein bisschen klarer. Werde jetzt mal dazu noch ein paar Übungen machen... Lieber Gruss jeba

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