Unendliche Reiehen/Summen und ihre Grenzwerte

14.01.2010, 17:21

SteveD

Unendliche Reiehen/Summen und ihre Grenzwerte

Hallo erstmal,

ich hab da mal eine Frage zu einer Aufgabe, also die Aufgabe ist:

Zeigen Sie für $\begin{eqnarray*} x \in (-1,1) \end{eqnarray*}$ die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^{2}x^{n} = \frac{1+x}{(1-x)^{3}} \end{eqnarray*}$

Also ich habe einen Ansatz, komme aber beim besten willen nicht aufs Ergebnis.

Ich hab $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}x^{n} \end{eqnarray*}$ als f(x) definiert und das hochgeleitet, da hatte ich dann $\begin{eqnarray*} (n+1)x^{n+1} \end{eqnarray*}$ raus, darauf dann die unendliche summe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^{n+1} = \sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n} = \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n} \end{eqnarray*}$

hab das halt so gemacht weil uns das bei einer ähnlichen (jedoch sehr viel einfacheren) Aufgabe so gezeigt wurde, nun weiß ich aber nicht wie ich weiter rechnen soll.

Ich weiß dass der Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n} = \frac{n}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist, aber das hilft mir bei der Aufgabe ja nicht weiter.

Weiß jemand Rat?

14.01.2010, 17:52

tmo

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RE: Unendliche Reiehen/Summen und ihre Grenzwerte

Zitat:

Original von SteveD
Ich hab $\begin{eqnarray*} (n+1)^{2}x^{n} \end{eqnarray*}$ als f(x) definiert und das hochgeleitet, da hatte ich dann $\begin{eqnarray*} (n+1)x^{n+1} \end{eqnarray*}$ raus, darauf dann die unendliche summe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)x^{n+1} = \sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n} = \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n} \end{eqnarray*}$

Das ist ja alles - von dem Wort "hochleiten" sehen wir mal ab - gar nicht so schlecht. Wie wärs jetzt nochmal zu integrieren? Vorher aber den Faktor vor $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ noch anpassen, so dass er beim integrieren verloren geht.

Zitat:

Original von SteveD
Ich weiß dass der Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n} = \frac{n}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist, aber das hilft mir bei der Aufgabe ja nicht weiter.

Das ist Quatsch. Wie kommst du darauf?

14.01.2010, 17:54

Leopold

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RE: Unendliche Reiehen/Summen und ihre Grenzwerte
Der Anfang ist gar nicht schlecht (bis auf das gräßliche Wort "hochgeleitet"), doch ab hier wird es gruselig:

Zitat:

Original von SteveD
Ich weiß dass der Grenzwert der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n} = \frac{n}{1-x} \end{eqnarray*}$ ist

Du kannst die Summationsvariable nicht vor die Summe ziehen!

Noch einmal von vorne. Für $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ hat man

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum_{n \geq 0} (n+1)^2 x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = \sum_{n \geq 1} n x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ist eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Kennst du also $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , so mußt du nur noch differenzieren.

$\begin{eqnarray*} F(x) = x \cdot \sum_{n \geq 1} n x^{n-1} \end{eqnarray*}$

Und jetzt bestimme in einer Nebenrechnung zunächst eine Stammfunktion $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g(x) = \sum_{n \geq 1} n x^{n-1} \end{eqnarray*}$

dann daraus $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und schließlich mittels $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ daraus $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

14.01.2010, 19:15

SteveD

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RE: Unendliche Reiehen/Summen und ihre Grenzwerte
Hab also dann:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (n+1)^{2}x^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(X) = \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n} = x * \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} G(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^{n} = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x) = - \frac{1}{(1-x)^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x) = x * - \frac{1}{(1-x)^{2}} = x * -(1-x)^{-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x) = x * 2(1-x)^{-3} + (-(1-x)^{-2})<br /> = \frac{2x}{(1-x)^{3}} - \frac{1}{(1-x)^{2}} \end{eqnarray*}$

und wenn ich das auf einen Nenner bring kommt bei mir das hier raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{-1+5x-7x^{2}+3x^{3}}{(1-x)^{5}} \end{eqnarray*}$

aber das ist ja nicht das ergebnis, oder?

14.01.2010, 19:37

Rare676

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Du kannst das x ist nicht zwischendurch einfach weglassen und irgendwann wieder dran hängen. Nimm das x, welches du vor die Summe schreibst mit, und zieh es nach dem 2. Integrieren wieder in die Summe. Erst dann ableiten.

14.01.2010, 19:58

SteveD

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wieso geht das nicht? ich definier g(x) doch selber, und ob ich das jetzt mit dem x oder ohne dem x vor der summe definier ist doch egal... ohne gehts halt einfacher und so meinte Leopold, dass doch auch?

14.01.2010, 20:11

Leopold

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Vieles richtig, einiges falsch. Du hast beim Ableiten die Kettenregel nicht beachtet (mehrmals). So kommt es zu mehreren Vorzeichenfehlern. Und wenn man Brüche addiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{c^2} + \frac{b}{c^3} \end{eqnarray*}$

so wählt man als gemeinsamen Nenner doch $\begin{eqnarray*} c^3 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} c^5 \end{eqnarray*}$ , nicht wahr?

14.01.2010, 20:37

SteveD

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achso, ja dachte den einen bruch mit dem nenner vom anderen erweitern und so wie es halt bei a/b + c/d wäre, wär ja dann (a+c)/(bd), naja ich habs jetzt so:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x * -2(1-x)^{-3} + (1-x)^{-2}<br /> = \frac{2x}{(1-x)^{3}} + \frac{1}{(1-x)^{2}}<br /> = \frac{2x + (1-x) + (1-x)}{(1+x)^{3}}<br /> = \frac{x+1}{(1-x)^{3}} \end{eqnarray*}$

und das ist ja das ergebnis ^^

vielen dank Leopold für die schnelle und verständliche Hilfe ^^

14.01.2010, 20:41

SteveD

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meinte in dem ersten satz (ad+cb)/(bd), aber das war ja nur nebensache

danke nochmal

(sorry für 2 einträge hintereinander, aber da ich gast bin konnte ich meinen vorherigen beitrag nicht editieren)

14.01.2010, 21:06

Leopold

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Da sind schon wieder viele Fehler drin. Richtig ist es so:

$\begin{eqnarray*} G(x) = \frac{1}{1-x} \, , \ \ g(x) = G'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x) = x \cdot g(x) = \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = F'(x) = x \cdot \frac{2}{(1-x)^3} + \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{2x + (1-x)}{(1-x)^3} = \frac{x+1}{(1-x)^3} \end{eqnarray*}$

Ich kann dir auch noch eine Lösungsalternative vorschlagen. Das Ergebnis läßt ja auf einen Zusammenhang mit der geometrischen Reihe schließen. So beginnt man mit

$\begin{eqnarray*} u(x) = \sum_{n \geq 0} x^n = \frac{1}{1-x} \, , \ \ -1 < x < 1 \end{eqnarray*}$

und bekommt daraus

$\begin{eqnarray*} x \cdot u'(x) = \sum_{n \geq 0} n x^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 \cdot u''(x) = \sum_{n \geq 0} n(n-1) x^n \end{eqnarray*}$

Und jetzt Trick 17: $\begin{eqnarray*} (n+1)^2 = n(n-1) + 3n + 1 \end{eqnarray*}$ . Damit folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n \geq 0} (n+1)^2 x^n = x^2 u''(x) + 3x \cdot u'(x) + u(x) \end{eqnarray*}$

14.01.2010, 21:44

SteveD

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das f(x) hatte ich ja auch so, also zumindest auf meinem blatt, weiß auch nicht wieso ich (1-x) im 2. schritt 2 mal in den zähler geschrieben hab, war wohl nicht mehr ganz da weil ich so euphorisch wegen der richtigen Lösung gewesen bin ^^

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