Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? |
| 14.01.2010, 17:44 | Jaise | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? Ich muss ein Trägheitsmoment durch Mehrfachintegration ausrechnen und erhalte irgendwann folgendes Integral: Integral (1+x²)^4 in den Grenzen von -1 bis 1 Ich weiß nicht wie ich auf die Stammfunktion komme. Wenn ich es einfach mit dem Pascal'schen Dreieck ausmultipliziere erhalte ich zwar eine Lösung, aber ich darf ja keine achte oder neunte Potenz, sondern für das Trägheitsmoment nur eine fünfte Potenz erhalten. Vielleicht kann mir jemand helfen. Heine |
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| 14.01.2010, 17:49 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4?
Verstehe ich nicht; trifft für das Vorgelegte nicht zu. Wie begründest du das? |
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| 14.01.2010, 17:53 | Rmn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? Ob du es ausmultiplizierst oder nicht, erhälst du wohl dieselbe Lösung, nicht wahr? Eine richtige Lösung hängt nicht davon ab, wie man rechnet, soweit man richtung rechnet. Bei einem bestimmten Integral enthälst du erstmal überhaupt keine Potenz, sondern eine Zahl, da du ja auch -1 und 1 einsetzen willst. PS: Vllt wäre es gut, du postest deine komplette Aufgabe. |
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| 14.01.2010, 18:08 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? Ok, folgende Aufgabe: Berechnen Sie das Trägheitsmoment des Kreisels bezüglich der x-Achse, dessen Volumen sich durch die Ungleichungen -1<=x<=1 0<=y²+z²<=1+x² Dann Kann ich ja meine Trägheitsmomentformel Integral r² dV in Zylinderkoordinaten substituieren, das erste mal meine Stammfunktion bilden, dort die Grenzen für meinen Radius (also 1+x²) einsetzen und schon bin ich bei dem Integral, dessen Stammfunktion ich nicht bekomme. Den Faktor 0,25 hab ich rausgezogen, da er das Bild sonst nur unnötig unübersichtlich macht. Heine |
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| 14.01.2010, 18:13 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? Ist die Masse homogen verteilt? Heisst es sicher 1+x^2, nicht 1-x^2? |
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| 14.01.2010, 18:17 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? Die Masse ist homogen aber du brauchst sie nicht zur berechnung. Unser Prof. rechnet immer mit dem Integral r² dV ohne die Masse beziehungsweise die Dichte zu berücksichtigen. Und das Volumen ist genau mit den beiden Angaben definiert. Du hast einmal auf der X-Achse 1 und -1 als Grenzen, der Radius (also y²+z²) ist in Abhänigkeit von x definiert. Somit "wandert" der Radius von 1 in der Mitte bis 2 an den Enden. |
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| 14.01.2010, 18:26 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4?
Ja, heißt es laut Aufgabentext. Aber selbst mit deiner Variante fällt mir keine Lösung ein weil du ja auch mit sin oder cos nicht vernünftig substituieren kannst. Und auch mit sinh kommt nur Unzureichendes raus. |
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| 14.01.2010, 18:27 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? Ich wollte bei der Kreiselform nur sicher sein. (Mit dem Minuszeichen hätte es mehr nach Kinderkreisel ausgesehen.) Die Homogenität als Eigenschaft musst du nennen, sonst kann man kein Trägheitsmoment berechnen. Auch kann man die Masse nicht ausser Acht lassen, aber, das gebe ich zu, sie kann als Faktor erst ganz zum Schluss dazumultipliziert werden. |
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| 14.01.2010, 18:50 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? ... und einen Faktor pi/2 brauchts auch noch, oder? Aber jetzt zu deinem Problem: Ich meine, ich hätte nun erraten, was dein Fehler sein könnte (leider hast du die Rechnung nie gezeigt). y^2+z^2 ist NICHT der Radius, den man zum Integrieren in die 4. Potenz setzen soll, sondern das ist bereits r^2. (1+x^2) muss also bloss noch quadriert werden! |
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| 14.01.2010, 19:00 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Stammfunktion zu dem Integral (1+x²)^4? pi erscheint halt zum schluss wenn du nach dphi das mit r^4 ist schon richtig. ich tue mich leider ein wenig schwer weil ich mit dem formeleditor nicht umgehen kann. also du hast halt das integral von r² dv. r² ersetzt du wie du richtig mit y²+z². aber dein dv ersetzt du durch r dr dphii dx damit wird aus y²+z² eben r³. dan integriere ich über dr, erhalte also 0,25r^4, setze danach meine grenzen ein. also 0 und (1+x²)... damit komme ich auf das integral welches ich nun noch nach phi und x integrieren muss. nach phi ist simpel - da kommen noch 2pi als faktor vor. Nur halt nach x zu integrieren fällt mir sehr schwer |
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| 14.01.2010, 19:04 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(Bitte löschen - verlesen.) |
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| 14.01.2010, 19:08 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich den post richtig gelesen habe gilt das doch nur wenn das zählerpolynom kleiner sit als das nennepolynom? |
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| 14.01.2010, 19:19 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, habe ich doch zu spät gelöscht: Ich hatte meine Brille nicht geputzt, und statt Integrand vermeintlich das Reziproke davon gesehen. Wahrscheinlich war mir das Polynom unbewusst zu einfach vorgekommen. 
Nochmals Sorry. 
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| 14.01.2010, 19:21 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kein problem |
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| 14.01.2010, 19:21 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Erst jetzt wird klar, nach welchen Formeln du arbeitest. Hier http://de.wikipedia.org/wiki/Trägheitsmoment lese ich [attach]12962[/attach] Was im Artikel z ist, heisst bei dir x. Und in deiner Aufgabe ist r Funktion von x; also wäre die zweite Formel zuständig, du nimmst die erste. |
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| 14.01.2010, 19:27 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie meinst du das? Ich benutze ja im prinzip auch die zweite Formel oder etwa nicht? ich erhalte genau die gleichung, die bei wiki angegeben ist wenn ich halt erst nach phi und dann nach x integriere. und r ist bei mir abhängig von z und zwar ist ja r zwischen 0 und 1+z². das setze ich dann ein und bin beim alten problem. einziger unterschied ist, dass ich eben die dichte nicht bei mir drin habe. |
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| 15.01.2010, 02:50 | Rmn | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wirds dann nicht (1+x²)^2 sein, statt (1+x²)^4, da y^2+z^2=r^2 und nicht r ist? |
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| 15.01.2010, 11:15 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne das würde ich nicht sagen, weil du ja einmal r² hast, dann transformierst du die Grenzen dxdydz noch nach r dr dx dphi, leitest r³ also auf, womit du bei 0,25*r^4 landest. nun setzt du ja deine obere und untere grenze ein und kommst dann mit der grenze (1+z²) bei 0,25*(1+x²)^4dx an... |
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| 15.01.2010, 11:31 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe nun beide Varianten (allerdings mit Mathematica) gerechnet. Die von dir gewählte (Integral nach dr statt dz) ist wesentlich komplizierter: Der Körperschnitt für festes r mit 0<r<1 ist ein Kreiszylindermantel der Höhe 2 und für 1<r<2^0.5 sind es zwei Kreiszylindermäntel. [attach]12972[/attach] |
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| 15.01.2010, 12:43 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das sieht ja gar nicht schlecht aus aber warum lässt du das zweite r von 1 bis wurzel 2 laufen? der maximale radius ist ja 2 und außerdem verläuft der mantel ja nicht linear sondern in form einer kurve. |
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| 15.01.2010, 13:34 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du machst wieder den Fehler, r sei 1+x^2. Es ist aber r^2=1+x^2. Für x=1 wird r=Wurzel2. Ich spreche nicht vom Körpermantel, sondern von einem Körperschnitt mit festem r. |
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| 15.01.2010, 14:14 | Heine_Asmussen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank, ich war die ganze Zeit so betriebsblind, dass mir nicht aufgefallen ist, dass es ja schon r² ist was maximal 1+x² annimmt. das würde ja vieles vereinfachen und damit mein Grundproblem hinfällig machen. Du hast mir sehr geholfen. Vielen Dank |
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