lim n(e^(1/n) - 1)

15.01.2010, 01:12	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
lim n(e^(1/n) - 1) Ich rätsel schon seit Stunden und bekomm es einfach nicht hin. Es ist praktisch der letzte Schritt in einem langen Beweis und alles droht daran zu scheitern, dass ich den Schritt nicht zeigen kann.... Ich will zeigen, dass: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} n (e^{1/n}-1) = 1 \end{eqnarray}$ ist. Wenn möglich, sollte dabei nur die Reihendarstellung der Exponentialfunktion benutzt werden.
15.01.2010, 07:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze $\begin{eqnarray} n = \frac{1}{h} \end{eqnarray}$ und lasse $\begin{eqnarray} h \to 0 \end{eqnarray}$ gehen. Machts's klick?
15.01.2010, 13:50	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht so richtig. Hat es evtl. etwas mit dem Differenzenquotient zu tun? aber über: $\begin{eqnarray} e = \lim_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n \end{eqnarray}$ habe ich die Gleichung jetzt gezeigt. Leider hatten wir diese Darstellung aber noch nicht in der Vorlesung, so dass das eigentlich nicht ganz sauber ist. Aber anders ist es mir nicht mehr gelungen.
15.01.2010, 13:57	Q-fLaDeN	Auf diesen Beitrag antworten »
Befolge doch mal Leopolds Tipp, und schau, was dann entsteht.
15.01.2010, 13:59	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch ausschließlich mit der Reihenentwicklung (ohne Differentialrechnung, da könnte es eh passieren, dass sich die Katze in den eigenen Schwanz beißt) von e wirklich nicht schwer. Es ist $\begin{eqnarray} n\left( \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{\frac{1}{n^k}}{k!} \right) -1 \right) = n\sum_{k=1}^\infty \frac{\frac{1}{n^k}}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{\frac{1}{n^{k-1}}}{k!} = 1+ \sum_{k=2}^\infty \frac{\frac{1}{n^{k-1}}}{k!} \end{eqnarray}$ . Und dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=2}^\infty \frac{\frac{1}{n^{k-1}}}{k!} \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist, ist einfach zu zeigen.
15.01.2010, 15:20	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo danke, jetzt kann ich alle Rechenwege nachvollziehen. Ärgerlich, dass ich die Aufgabe jetzt schon abgeben musste. Dafür krieg ich garantiert Punktabzug. Ich hatte den Beweis halt schon im Kopf mehr oder weniger fertig gedacht und hatte nicht damit gerechnet, dass ich da am Ende noch auf so ein "Problem" stoßen würde. Aber danke an alle!
Anzeige

1

Verwandte Themen