Berechnung eines Rotationsvolumens bei ggb. Rotatonsfläche

15.01.2010, 05:19	KT	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung eines Rotationsvolumens bei ggb. Rotatonsfläche Hallo, ich habe eine Frage zum Berechnen von Rotationsvolumen, allerdings auf eher unkonventionelle Art. Ich habe die zu rotierende Fäche bereits durch Integrations von zwei begrenzenden Funktionen mit nur einem Schnittpunkt je X-Seite (also ein negativer und ein positiver Wert, wobei mich nur der positive interessiert) bei unterer Grenze x=0 (rotiert also um y) berechnet. Ich wollte mal nicht einfach nur die Standardformel nehmen und dann gleich das Volumen ausrechnen. Jetzt frage ich mich, wie ich mit der Fläche weiter verfahren kann. Anschaulich betrachtet rotiert ja eine konstante Fläche (bei der es ja dann auch völlig egal ist, wie sie aussieht) einmal komplett um eine Achse. Ein solches Problem muss es doch auch in der Praxis geben. Könnte doch sein, dass man mal nur die Rotationsfläche als Flächenmass hat und keine Funktion etc. Also angenommen ich habe eine Fläche A=2m^2. Die Fläche rotiert einmal um 360°. Wie berechnet man dann das Volumen des Rotationskörpers? Wäre das nicht einfach 2piFläche? Also im angegeben Fall einfach 12,566m^2? Das ließe sich doch auch überprüfen. Nehmen wir doch an, wir rotieren ein Rechteck und erzeugen damit ja einen Zylinder. Ein Rechteck mit der Fläche 2m^2 könnte dann die Seitenlängen 1m und 2m haben. 2m wäre dann beim Zylinder meinetwegen der Radius und 1m die Höhe. Mit der Zylinderformel pir^2h gäbe das dann: pi(2m)^2*1m=12,566m^2. Laut Ergebnis müsste es also stimmen. Ist es dann nicht toal egal, ob die Rotationsfläche ein Rechteck oder ein kryptisches integriertes Gebilde ist? Vielen Dank schon im voraus! Greetz, KT
15.01.2010, 08:40	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnliche Gedanken hatte ich mir beim Lernen dieses Kapitels auch gemacht. Nur, wenn die Fläche, die rotiert werden soll, krummlinig begrenzt ist, geht das nicht so, wie du dir das vorstellst. Das liegt daran, dass die Abstände, also die Radien beim Rotieren nicht lineare Ergebnisse werden. Verdoppelt sich der Radius, verdoppelt sich nicht die Fläche, sondern vervierfacht sich. Sonst würde nämlich bei der Rotation um die Abszisse der Wert gleich der Rotation um die Ordinate sein. Selbst bei einem Rechteck lässt sich das ganz schnell feststellen: Seien die Maße für ab gleich 12, so entstehen zwei Zylinder: V=pi * r² * h nämlich: pi1²2 und pi 2²1 und 2 ist nicht gleich 4 (wenn du sogar noch pi außen vor lässt). Oder wolltest du mit deiner Frage etwas anderes ausdrücken? LGR
15.01.2010, 14:35	KT	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das leuchtet mir dann doch ein. Muss ich also doch die Standardformel nehmen oder kann ich auch irgendwie anders mit der Fläche arbeiten? Ich habe ja auch noch zwei Funktionen und nicht nur eine mit Intervall oder so. Weil es mir hier eben einfach leichter erschien, erstmal die Fläche auszurechnen, habe ich mich eben gefragt, ob das nicht auch so geht. Du hast meine Frage also schon ganz richtig verstanden. Obwohl es ja beim Rechteck irgendwie unlogisch ist (trotz deines zweifelsohne richtigen Einwandes). Sollte es nicht egal sein, ob der Zylinder jetzt breit und flach oder schmal und hoch ist? Müsste das Volumen nicht immer das gleiche sein? Ich meine, rein rechnerisch sehe ich es genauso wie du. Nur vorstellen kann ich mir das jetzt nicht... Nein, du hast vollkommen recht, ich habe es mir nochmal aufgezeichnet und kann es jetzt auch sehen. Der Zylinder mit dem Radius 1 ist defintiv kleiner, als der mit dem Radius 2. Obwohl die gleiche Fläche rotiert. Dann vermute ich mal, dass es wirklich keinen Weg gibt, von der Fläche auszugehen. Man braucht auch ihre genaue Gestalt. Das ist echt faszinierend. :o)
15.01.2010, 15:08	Rechenschieber	Auf diesen Beitrag antworten »
So im Nachhinein hätte ich dir noch ein "besseres" Beispiel geben können und zwar, wenn ein Halbkreis, dessen Durchmesser auf der Abszisse liegt, die gleiche Fläche hätte, wie ein Rechteck mit einer Seite ebenfalls auf der Abszisse. Beides wird nun rotiert. Fazit: Kugelvolumen wäre nach deiner Annahme gleich Zylindervolumen bei gleichem Querschnittsmaß. Damit ist klar. Rotationsvolumen hat eben diese eine Formel: http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper Interessant ist übrigens, wenn man einen blanken, aber starken Draht in das Futter einer Bohrmaschine spannt und ihn nach Belieben biegt. Mit der richtigen Drehzahl ( 50 U^-1) und Beleuchtung lassen sich dann wunderbare Rotationskörper erstellen. Hat man mal Probleme bei einer Funktion die um die Ordinate rotiert, so hilft man sich, indem man die Umkehrfunktion bildet und sie um die Abszisse rotieren lässt. LGR
15.01.2010, 18:21	Corny	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist natürlich möglich mit der Fläche auf das Rotationsvolumen zu kommen!!! Die Allgemeine Formel lautet: V=2* $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ sA Dabei stellt s den Schwerpunktsweg, also die Wegstrecke dar, die der Schwerpunkt bei der Rotation zurücklegt. Um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, benötigt man also den Flächeninhalt A der Rotationsfläche und die Koordinaten des Schwerpunkts S. Mit Hilfe der Koordinaten des Schwerpunkts lässt sich dann der Abstand s zwischen dem Schwerpunkt und der Rotationsachse berechnen. Dabei genügt bei Rotation um die x-Achse die y-Koordinate und bei Rotation um die y-Achse die x-Koordinate des Schwerpunkts, weil sie dem Abstand s entsprechen.

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