Multiplikation konvergenter Zufallsvariablen

15.01.2010, 11:52	Banni	Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikation konvergenter Zufallsvariablen Hallo ihr... In der Vorlesung hieß es ist es ganz einfach...Ich hänge trotzdem. Gegeben: $\begin{eqnarray} X_n -> X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y_n->Y \end{eqnarray}$ fast sicher. Zu zeigen: $\begin{eqnarray} X_nY_n->XY \end{eqnarray}$ Wir haben das ganze für "+" schonmal gemacht, aber mir fehlt die Begründung, warum ich $\begin{eqnarray} \left\{ w\|X_n(w)->X\right\} \end{eqnarray}$ mit der Menge $\begin{eqnarray} \left\{ w\|Y_n(w)->Y\right\} \end{eqnarray}$ schneide. Und wenn ich dass für die Multiplikation mache, dann fehlt mir die Begründung, warum ich das machen darf: $\begin{eqnarray} P(\left\{ w\|X_n(w)->X\right\} \cap\left\{ w\|Y_n(w)->Y\right\} )=P(\left\{ w\|X_n(w)->X\right\} )P(\left\{ w\|Y_n(w)->Y\right\} ) \end{eqnarray}$ So ähnlich ist die zweite aufgabe, nur dass ich hier $\begin{eqnarray} X_nY->XY \end{eqnarray*}$ gehen muss. das finde ich aber noch unverständlicher vielen Danke für Hinweise
15.01.2010, 17:18	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multiplikation konvergenter Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} X_n = X ~f.s \end{eqnarray}$ bedeutet: Es exisitert ein $\begin{eqnarray} A \in \Omega \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu(A) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} X_n(w) = X(w) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} w \notin A \end{eqnarray}$ . Wenn also $\begin{eqnarray} lim X_n = X ~f.s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} lim Y_n = Y ~f.s \end{eqnarray}$ => Für alle $\begin{eqnarray} w \notin A\cup B \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} lim X_n(w) \cdot Y_n(w) = X(w) \cdot Y(w) \end{eqnarray}$
17.01.2010, 15:31	banni	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multiplikation konvergenter Zufallsvariablen hi, danke für die ANtwort, ich hab mir das nochmal angeguckt und ich frage mich was bei dir $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und ob A eine Menge ist (nur weil da ja A element Omega steht) und warum darfst du denn das einfach zusammenziehen?? Du sagtst: Wenn also $\begin{eqnarray} lim X_n = X ~f.s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} lim Y_n = Y ~f.s \end{eqnarray}$ => Für alle $\begin{eqnarray} w \notin A\cup B \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} lim X_n(w) \cdot Y_n(w) = X(w) \cdot Y(w) \end{eqnarray}$ Warum darfst du das??
17.01.2010, 18:58	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Multiplikation konvergenter Zufallsvariablen Ja, A sollte eine Teilmenge von Omega sein. Machen wirs doch einfach ausführlicher. Seien $\begin{eqnarray} X,~Y~ \end{eqnarray}$ ZVen und $\begin{eqnarray} (X_n)_{n \in \mathbb N},~(Y_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ Folgen von ZVen auf dem Maß-Raum $\begin{eqnarray} (\Omega, \sigma, \mu) \end{eqnarray}$ (Zufallsvariablen sind auf Maßräumen definiert) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} X_n = X ~f.s. \end{eqnarray}$ heißt: Es existiert eine Teilmenge $\begin{eqnarray} A\subset \Omega \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu(A) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} X_n(w) = X(w) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} w \in A^c \end{eqnarray}$ Analog exisitert ein $\begin{eqnarray} B\subset \Omega \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \mu(B)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} X_n(w) = X(w) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} w \in B^c \end{eqnarray}$ , da ja $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} X_n = X ~f.s. \end{eqnarray}$ . Also gilt für alle $\begin{eqnarray} w \in A^c \cap B^c \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} X_n(w) = X(w) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} Y_n(w) = Y(w) \end{eqnarray}$ (Dies folgt aus der Definition des Schnittes) Aus den Limesregeln folgt für alle $\begin{eqnarray} w \in A^c \cap B^c \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} Y_n(w)\cdot X_n(w) = Y(w)\cdot X(w) \end{eqnarray}$ Desweiteren gilt: $\begin{eqnarray} \mu(A \cup B) = 0 \end{eqnarray}$ , da ja $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ ein Maß ist und damit hat man alles.
18.01.2010, 19:51	banni	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Dann hab ich das jetzt verstanden. Nur mal kurz, genauso müsste das doch für $\begin{eqnarray} \frac{X_n}{Y_n}->\frac{X}{Y} \end{eqnarray}$ gehen, oder? als vorraussetzung gilt natürlich, dass $\begin{eqnarray} Y_n , Y \neq 0 \quad\forall \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ . Und wenn wir gerade dabei sind ;-) An nem ähnlichen Problem hänge ich für die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit. Hier sollen wir zeigen, dass $\begin{eqnarray} X_nY-> XY \end{eqnarray}$ in Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray} X_n->X \end{eqnarray}$ in Wahrscheinlichkeit. Diese KOnvergenz kann ich doch nicht auf die punktweise Konvergenz zurückführen, oder? mit welchem Ansatz muss ich denn da ran? Sorry, dass ich nie fertig werde...das wars dann aber erstmal... Danke
19.01.2010, 10:00	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, auch bei dem Bruch verwendet man die Definition der f.s. konvergenz, die des Schnittes und die Limesregeln. Für die stochastische Konvergenz gilt ja: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(\|X_n - X\| > \epsilon) = 0 \end{eqnarray}$ für alle epsilon>0 Zz. $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} P(\|YX_n-YX\| > \epsilon) = 0 \end{eqnarray}$ für alle epsilon>0 $\begin{eqnarray} \|YX_n -YX\| > \epsilon~ <=>~ \|X_n - X\| > \frac{\epsilon}{\|Y\|} \end{eqnarray}$
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »