Zeige das L*L' positiv devinit ist!

15.01.2010, 11:46	Chrissi1980	Auf diesen Beitrag antworten »
*Zeige das LL' positiv devinit ist!** Hallo lieb mathefreund!!! Habe folgendes problem... Es sei L(reell,nn) eine reguläre untere Dreiecksmatrix. Zeigen Sie, daß A := LL' positiv definit ist. Ich weiß das die eigenwerte auf der diagonalen stehen und das sich eine diagonalmatrix ergibt, die ja nur positiv einträge hat und damit positiv definit ist... ABER: ich weiß nicht wie ich da mathematisch zeien soll... Wäre nett wenn mir jemand helfen kann! Lieben gruß an alle!!
15.01.2010, 14:09	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige folgendes : Ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ so ist $\begin{eqnarray} \lambda^2 \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} LL^T \end{eqnarray}$ . Kann $\begin{eqnarray} LL^T \end{eqnarray}$ Eigenwerte haben die nicht das Quadrat eines Eigenwertes von L sind? Mit der Symmetrie von $\begin{eqnarray} LL^T \end{eqnarray}$ bekommst Du dann das gewünschte.
15.01.2010, 15:57	Chrissi1980	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi danke erstmal!!! ALso irgendwas kann da nicht ganz richtig sein..... Wenn ich als matrixbsp: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dann ist $\begin{eqnarray} AA'=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die eigenwerte von eig(A) =[1 1 1]' Die eigenwerte von eig(AA')=[0,1270 1 7,873]' Das heißt (eig(A))^2 ungleicheig eig(A*A') So gibts mir matlab aus..... Lieben Gruß!!!
15.01.2010, 16:50	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, ich war auf Arbeit und hatte keine Zeit es ordentlich zu durchdenken. Folgendes funktioniert : Zeige direkt die Definition der positiven Definitheit, zeige also das für x ungleich 0 gilt : $\begin{eqnarray} x^TLL^Tx > 0 \end{eqnarray}$ das ist in einer halben Zeile gezeigt, wenn man den richtigen Trick anwendet .
15.01.2010, 18:03	Chrissi1980	Auf diesen Beitrag antworten »
So ich habe da mal was probiert... $\begin{eqnarray} x^{T}LL^{T}x > 0 , x\neq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^{T}LL^{T}x =x^{T}(LL^{T})^{T}x=x^{T}(L^{T})^{T}L^{T}x = x^{T}LL^{T}x>0 \end{eqnarray}$ Damit habe ich nachgewiesen das L*L' eine symetrische matrix ist.... hat mir aber nicht wirklich weiter geholfen... stehe auf dem schlauch..... Lg!
15.01.2010, 18:10	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze mal $\begin{eqnarray} z = L^Tx \end{eqnarray}$ .
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15.01.2010, 18:42	Chrissi1980	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sehe da kein weiterkommen.... Wäre nett wenn du mir noch ein tip geben könntet! lg
15.01.2010, 18:52	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eigentlich schon der ultimative Tip. Wegen $\begin{eqnarray} z = L^Tx \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} z^T = x^TL \end{eqnarray}$ daher ist $\begin{eqnarray} x^TLL^Tx = z^Tz > 0 \text{ für } x \neq 0 \end{eqnarray}$ was zu zeigen war. edit : Fairerweise müsste man noch sagen dass $\begin{eqnarray} L^Tx \end{eqnarray}$ niemals null ist, da L regulär ist.
15.01.2010, 18:59	Chrissi1980	Auf diesen Beitrag antworten »
:) Oh mann ich blindfisch!!!!! Okay! Danke! Werde erstmal pause machen... ich sehe ja schon den wald vor lauter bäumen nicht mehr!!!!! Lieben Gruß!

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