Dimension des Schnitts mit Aufgabenstellung |
| 15.01.2010, 14:14 | kolto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Dimension des Schnitts mit Aufgabenstellung W der teilvektorraum, der von (1,0,1,0), (1,1,1,0), (0,0,0,1) aufgespannt wird. berechnen sie dimV, dimW und dimV\cap W. So für dimV und dimW rechne ich einfach wieviel vektoren der 2 mengen jeweils linear unabhängig sind, aber für dimV\cap W. bin ich mir nicht ganz sicher. Ich hab raus, dass der Schnitt gleich 0 ist, weil ich keinen Vektor aus der einen Menge mit der andern Menge darstellen kann. (ich glaube beide mengen waren jeweils linear unabhängig, d.h. dimV=dimW=3, d.h. beide mengen sind basen) Hab ich das richtig gemacht? oder wie berechne ich den schnitt? und ich allgemein eine basis des schnitts gegeben durch die vektoren aus einer basis die ich mit der anderen basis darstellen kann? und ist es so, das wenn ich keinen Vektor aus B mit vektoren aus C darstellen kann, dass ich dann automatisch auch keinen aus C mit B darstellen kann? |
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| 15.01.2010, 17:31 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi kolto,
Das hat nichts zu bedeuten. Was ist zum Beispiel mit (1,0,1,3)=(1,0,0,2)+(0,0,1,1)=(1,0,1,0)+3(0,0,0,1)? Allgemein gilt doch Wie groß kann denn maximal werden? Gruß, Reksilat. |
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| 15.01.2010, 17:42 | kolto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dim(V+W) kann maximal 4 werden weils ja ein UVR von R^4 ist. Das würde heissen: also "(1,0,1,3)=(1,0,0,2)+(0,0,1,1)=(1,0,1,0)+3(0,0,0,1)?" das besipiel versteh ich allerdings nicht ganz. ich kann (1,0,1,3) mit (1,0,0,2) und (0,0,1,1) darstellen, also ist der schnitt von L((1,0,1,3)) mit L((1,0,0,2),(0,0,1,1)) dann doch L((1,0,1,3))? und für die andern 2 genauso? |
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| 15.01.2010, 17:44 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Beispiel sollte Dir zeigen, dass der Schnitt Deiner beiden Unterräume nicht {0} ist. Außerdem hast Du ja jetzt schon fast alles. Du musst nur noch rauskriegen, ob V+W der ganze Raum ist oder nicht. |
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| 15.01.2010, 17:50 | kolto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm ist dim(v+w) immer größer oder gleich dimV und dimW? |
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| 15.01.2010, 17:52 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kommt darauf an, ob V+W immer größer ist, als V bzw. W. 
Schau auf die Definition oder versuche es Dir bildlich vorzustellen. Eigentlich ist es offensichtlich. |
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| 15.01.2010, 18:06 | kolto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt, ist klar^^ V und W sind ja enthalten, weil ich ja ganz einfach mit x*v+0*w einen Vektor aus V+W habe. wieder was gelernt, soweit schonmal gut 
zu der sache ob V+W der ganze raum ist würd ich sagen ja, denn: ich zeige, dass und mit u=a1u1+a2u2+a3u3 und w=b1w1+b2w2+b3w3 sodass v=u+w=a1u1+a2u2+a3u3+b1w1+b2w2+b3w3 das heisst dass u1,u2,u3,w1,w2,w3 ein erzeugendensystem vom R^4 sind. dann die vektoren als spaltenvektoren nebeneinander schreiben und das LGS a1u1+a2u2+a3u3+b1w1+b2w2+b3w3=(x,y,z,w) lösen. hab ich ma schnell gemacht, kommen große koeffizienten raus, deswgene schreib ichs ma nicht hier hin aber es geht. ist das richtig? bzw gehts auch einfacher? (u1,u2,u3,w1,w2,w3) kann ich ja dann als matrix auffassen |
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| 15.01.2010, 18:10 | kolto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann wäre die dimension des schnitts natürlich 2 |
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| 15.01.2010, 18:13 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst eigentlich nur zeigen, dass es unter den sechs Vektoren eine linear unabhängige Teilmenge von vier Vektoren gibt. Dann hast Du eine maximal linear unabhängige Teilmenge des in gefunden, also eine Basis. Das kann man über ein LGS machen oder man schreibt vier der Vektoren in eine Matrix und rechnet die Determinante aus. EDIT: Ja, die Dimension des Schnitts ist dann 2. |
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| 15.01.2010, 18:19 | kolto | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ahh ja ganz einfach^^ jedes EZS enthält ja eine basis. danke dir^^ |
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