Verschoben! Aufgabe zum exponentiellen Wachstum

15.01.2010, 15:48

Care

Aufgabe zum exponentiellen Wachstum

Ich war mir nicht ganz sicher, wohin diese Frage passt, also habe ich sie hier rein...

Ich soll - mit Ungleichungen - ausrechnen, ob bestimmte Aussagen zum exponentiellen Wachstum richtig sind (und verstehe weder die Erklärungen von meinem Lehrer noch die von Banknachbarn... verwirrt

):

Halbiert man einen Wachstumsfaktor a<1 (b*a^2), halbiert sich die Halbwertszeit
und
Verdoppelt man den relativen Zuwachs p, halbiert sich die Verdopplungszeit.

Für's erste ist die Lösung:
a^t = (1/2*a)^1/2*t (das verstehe ich)
und warum darf man dann weiter machen:
a^2t = (1/2*a)^t ? (ok, das ist Algebra)

Und wie rechnet man das andere?

15.01.2010, 16:34

mYthos

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Zitat:

...
Halbiert man einen Wachstumsfaktor a<1 (b*a^2), halbiert sich die Halbwertszeit
...

Diese Aussage ist unzutreffend. Warum?

Zur Frage: Potenzgesetz: $\begin{eqnarray*} (a^r)^2 = a^{2r} \end{eqnarray*}$
______________

Gehe von der Wachsumsfunktion

$\begin{eqnarray*} m(t) = m(0) \cdot a^{t} \end{eqnarray*}$

aus. Allerdings ist dann a NICHT der Wachstumsfaktor, sondern die Basis inklusive des Wachstumsfaktors. Es ist daher zu schreiben

$\begin{eqnarray*} a = e^k \end{eqnarray*}$ , wobei nun $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ der Wachstumsfaktor ist. Dann ist

$\begin{eqnarray*} m(t) = m(0) \cdot e^{kt} \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du untersuchen, was passiert, wenn k halbiert oder verdoppelt wird.

mY+

15.01.2010, 19:05

Care

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Zitat:

Original von mYthos

Zur Frage: Potenzgesetz: $\begin{eqnarray*} (a^r)^2 = a^{2r} \end{eqnarray*}$
______________

[...] Allerdings ist dann a NICHT der Wachstumsfaktor, sondern die Basis inklusive des Wachstumsfaktors.

mY+

1) Dann kann also (a^t)^2 = a^2t sein und das /2 ist (1/2*a)^t ? Welche Rechenregel erlaubt das nochmal?
2) Warum? verwirrt

15.01.2010, 20:58

mYthos

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Potenzen werden potenziert, indem man die Hochzahlen multipliziert.
_____________

Bitte um Verständnis, dass das Forum kein Orakel ist. Die gegebenen Hinweise bezüglich a und e und dem Wachstumsfaktor k müssten zu mehr selbständiger Beschäftigung deinerseits mit dieser Funktion anregen.

Tipp: Drücke die Halbwertszeit in k aus, dann ist der Vergleich für Vielfache von k leicht möglich.

mY+

16.01.2010, 10:49

Care

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Ach so. Danke!

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