Beweis: ein parallelogramm ist ein rechteck, wenn die diagonalen gleich lang sind

15.01.2010, 16:03

Mudolf

Beweis: ein parallelogramm ist ein rechteck, wenn die diagonalen gleich lang sind

Hallo,
ich versuche mich grad am beweis, dass ein parallelogramm ein rechteck ist, wenn die diagonalen gleich lang sind.

die eine richtung, also "annahme: ein parallelogramm ist ein rechteck" und dass daraus folgt, dass die diagonalen gleich lang sind, habe ich schon.

jetzt fehlt mir der schritt, dass ein parallelogramm dessen diagonalen gleich lang sind ein rechteck ist.

also S sei der schnitt der diagonalen. dann will ich zeigen, dass das dreieck ABS gleichschenklig ist, daraus würde mit dem satz "dass in einem parallelogramm die diagonalen sich halbieren" das folgen was ich will Augenzwinkern

aber finde keinen ansatz.

15.01.2010, 16:08

riwe

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RE: Beweis: ein parallelogramm ist ein rechteck, wenn die diagonalen gleich lang sind
ich würde es vektoriell versuchen smile

15.01.2010, 16:19

Mudolf

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also es gilt $\begin{eqnarray*} \vec{AC} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \vec{BD} \end{eqnarray*}$ , aber was ist eigentlich mein ziel? muss ich zeigen, dass einer der winkel recht ist, oder gibt es auch andere wege?

oder das $\begin{eqnarray*} \vec{AB} \end{eqnarray*}$ senkrecht auf $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$ steht?

15.01.2010, 17:18

wisili

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RE: Beweis: ein parallelogramm ist ein rechteck, wenn die diagonalen gleich lang sind
Wenn du Parallelogramm-Eigenschaften benützen darfst, wird es einfach. Es gilt der
Satz: «Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen gegenseitig.»
Die gleichschenkligen Dreiecke sind gesichert.
Dann studierst du alle vorkommenden Winkel.
Oder noch schneller: Thaleskreis über einer Diagonale.

15.01.2010, 17:34

Mudolf

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das mit dem thales kreis is so ne sache, zeichnen darf man in einem beweis nicht, wie zeige ich dass der punkt auf dem kreis liegt?
und bei den winkeln, über stufen und wechselwinkel kann ich zwar die gleicheit einzelner zeigen, aber nicht die die ich brauch, also $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta \end{eqnarray*}$ des dreiecks ABS

15.01.2010, 17:42

wisili

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Drei Eckpunkte mit gleichem Abstand zum Diagonalenschnittpunkt liegen immer auf einem Kreis mit
Zentrum im Diagonalenschnittpunkt (so sind Kreise definiert: Ort aller Punkte mit gleichem Abstand ...).

Wenn du ohne Thales vorgehst: Es gibt 4 gleichschenklige Dreiecke, je zwei sind kongruent (sss).
Jeder Winkel in einer Parallelogramm-Ecke setzt sich aus 2 (i.a. verschiedenen) Basiswinkeln zusammen:
Das Parallelogramm hat 4 gleichgrosse Winkel.

15.01.2010, 18:20

Mudolf

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super, beim letzten satz hats klick gemacht, danke!!!

16.01.2010, 19:03

riwe

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vektoriell

$\begin{eqnarray*} |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|\to \vec{a}\perp\vec{b} \end{eqnarray*}$ smile

edit: copy & paste fehler korrigiert

16.01.2010, 19:27

wisili

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Aus einer allgemeingültigen Aussage kann man nichts Spezielles schliessen.
Aber aus: $\begin{eqnarray*} |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}| \end{eqnarray*}$ mit dem Skalarprodukt dann schon.

16.01.2010, 20:37

riwe

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Zitat:

Original von wisili
Aus einer allgemeingültigen Aussage kann man nichts Spezielles schliessen.
Aber aus: $\begin{eqnarray*} |\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}| \end{eqnarray*}$ mit dem Skalarprodukt dann schon.

den offensichtlichen "tippfehler" habe ich mir erlaubt oben zu korrigieren smile

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