Menge der R-linearen Abbildungen

15.01.2010, 17:54

pythagora

Menge der R-linearen Abbildungen

Hallo ihr Lieben, ich muss folgende Aufgabe lösen:

Bestimmen sie die Menge aller IR -linearen Abbildungen von IR nach IR (jeweils als Vektorraum über IR).

für lineare Abbildungen gibt es ja die 2 Kriterien:
(i) f(a+b)=f(a)+f(b) für alle a,b aus V
(ii)f(alpha * a) = alpha * f(a) für alle alpha aus V und a aus V

Aber was muss ich jetzt genau zeigen und was mache ich mit IR???
Ist die Menge aller Abbildungen von R nach R vielleicht R hoch R?? Ich meine, dass dann auch |R^R|=|R|^|R| gilt.

wenn das stimmt, was muss ich jetzt machen?? und das genau bedeutet R-linear??

Vielen Dank schon mal.
LG
pythagora

15.01.2010, 18:22

Leopold

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$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x \cdot 1) = \text{???} \end{eqnarray*}$

15.01.2010, 18:31

pythagora

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Hallo, danke für die schnelle Antwort
f(x)=f(x*1)=f(x)*f(1)=f(x)*1 (*1 stimmt das???) was habe ich denn dadurch gezeigt??

15.01.2010, 18:35

Mazze

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Die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x * 1) = f(x) * f(1) \end{eqnarray*}$

ist schonmal falsch. Richtig wäre :

$\begin{eqnarray*} f(x * 1) = f(x) * 1 \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} f(x * 1) = x * f(1) \end{eqnarray*}$

Eine dieser Varianten bringt dich weiter.

15.01.2010, 18:43

pythagora

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Hey,
aber wieso gilt denn f(1)=1?? Hat das was mit R-->R zu tun, ist es vllt. eine Bijektion zwischen R und R, weshalb jeses x auf x abgebildet wird?? Das kommt mir zumindest gerade in den sinn. Zeige ich dann eine Bijektion??

15.01.2010, 19:11

Mazze

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Zitat:

aber wieso gilt denn f(1)=1??

Wer behauptet denn hier das dass gilt? Doch nur du Augenzwinkern

15.01.2010, 19:37

pythagora

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^^, aber dann bin ich mir leider nicht sicher, was mir deine beiden gleichungen sagen sollen. entweder gilt x=f(x) oder f(1)=1, oder nicht????
Bin verwirrt... Könnte mich jemand "entwirren"???

15.01.2010, 19:38

Mazze

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Ich hab dir doch schon zwei Gleichungen gepostet

hier nochmal

$\begin{eqnarray*} f(x * 1) = f(x) * 1 \end{eqnarray*}$ oder

$\begin{eqnarray*} f(x * 1) = x * f(1) \end{eqnarray*}$

Eine dieser beiden Gleichungen ist der Schlüssel zur Aufgabe. Und vergiss endlich f(1) = 1.

15.01.2010, 20:06

pythagora

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Hallo, danke für deine Antwort, aber ich habe leider immer noch keine Ahnung was du meinst, spielst du auf das 2. Kriterium für lin. Abbildungen an??? Was muss ich denn nun eigentlich zeigen???

15.01.2010, 20:08

Mazze

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Naja, Du musst die Menge der linearen Abbildungen so gut wie möglich beschreiben. Wir erhalten mit der zweiten Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x * 1) = x * f(1) \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} f(x) = x*f(1) \end{eqnarray*}$

Sprich, eine lineare Abbildung auf R ist schon dann vollständig festgelegt wenn wir f(1) kennen.

15.01.2010, 20:28

pythagora

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Hey, ok, aber wieso ist denn f(x)=x???--> f(x*1)=x*f(1)
Und was muss ich denn da alles beschreiben, ich habe dazu keine Definitionen gefunden in beinem Skript/buch... ????
Danke, dass du mit hilfst.

15.01.2010, 20:34

Mazze

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f ist eine Lineare Abbildung, damit gilt

$\begin{eqnarray*} f(\lambda * x) = \lambda f(x) \end{eqnarray*}$

In unserm Fall ist aber sowohl Lambda als auch x eine reelle Zahl, daher können wir auch

$\begin{eqnarray*} f(\lambda x) = x f(\lambda) \end{eqnarray*}$

schreiben. Ansonsten kann man die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x) = x*f(1) \end{eqnarray*}$

auch ander schreiben. f(1) ist eine Konstante, ich setze $\begin{eqnarray*} f(1) = m \end{eqnarray*}$

kommt Dir die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x) = m*x \end{eqnarray*}$

dann bekannt vor? Aus der Schule eventuel?

15.01.2010, 20:41

pythagora

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Hey,

Zitat:

Original von Mazze
f ist eine Lineare Abbildung, damit gilt

$\begin{eqnarray*} f(\lambda * x) = \lambda f(x) \end{eqnarray*}$

In unserm Fall ist aber sowohl Lambda als auch x eine reelle Zahl, daher können wir auch

$\begin{eqnarray*} f(\lambda x) = x f(\lambda) \end{eqnarray*}$

schreiben.

ok, soweit verstanden, danke

Zitat:

Ansonsten kann man die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x) = x*f(1) \end{eqnarray*}$

auch ander schreiben. f(1) ist eine Konstante, ich setze $\begin{eqnarray*} f(1) = m \end{eqnarray*}$

kommt Dir die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f(x) = m*x \end{eqnarray*}$

dann bekannt vor? Aus der Schule eventuel?

Jaaa, doch schon^^ Steigung mal x --> Funktion??

15.01.2010, 20:58

pythagora

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Kannst du mir denn sagen, was ich jetzt eigentlich zeigen muss?? Ich weiß nämlich immer noch nicht in welche richtung ich gehen muss....

16.01.2010, 09:51

Mazze

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Zunächst haben wir festgestellt das eine reelle Funktion , die die zweite Linearitätseigenschaft erfüllt bereits die Form

$\begin{eqnarray*} f(x) = x f(1) \end{eqnarray*}$

haben muss. Es wäre jetzt zu zeigen dass diese Funktion auch die erste Linearitätseigenschaft erfüllt, was trivial ist. Jetzt musst Du dir nur noch überlegen wieviel verschiedene Möglichkeiten es gibt f(1) zu definieren. Dann haben wirs.

16.01.2010, 11:51

pythagora

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Guten Morgen!

Zitat:

Original von Mazze
Zunächst haben wir festgestellt das eine reelle Funktion , die die zweite Linearitätseigenschaft erfüllt bereits die Form

$\begin{eqnarray*} f(x) = x f(1) \end{eqnarray*}$

darauf komme ich doch so: f(x)=f(x*1)=f(x)*(f1)=x*f(1), oder deute ich da was falsch?? Ist es so: f(x)=f(x*1)=x*(f1) --> ziehe ich das x einfach aus der Klammer, weil beides in R ist??? Bin mir da noch nicht so ganz sicher...

Zitat:

haben muss. Es wäre jetzt zu zeigen dass diese Funktion auch die erste Linearitätseigenschaft erfüllt, was trivial ist

.
so?: f(x+y)=...= f(x)+f(y)???--> aber mehr als das so zu schreiben f(x+y)= f(x)+f(y) geht doch nicht, oder?? oder wieder was mt 1??

Zitat:

Jetzt musst Du dir nur noch überlegen wieviel verschiedene Möglichkeiten es gibt f(1) zu definieren. Dann haben wirs.

Also wenn f(1) eine Kontante aus R ist, dann wären es doch |R| Möglichkeiten, oder?? Aber reicht es das einfach so hinzuschreiben?? muss ich da nich noch was beweisen??
LG

16.01.2010, 12:23

Mazze

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Zitat:

Das sollte mitlerweile geklärt sein.

Zitat:

so?: f(x+y)=...= f(x)+f(y)???--> aber mehr als das so zu schreiben f(x+y)= f(x)+f(y) geht doch nicht, oder?? oder wieder was mt 1??

Wir haben eine Funktionsvorschrift $\begin{eqnarray*} f(x) = x f(1) \end{eqnarray*}$ , dann wäre zu zeigen dass

$\begin{eqnarray*} f(x + y) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

Funktionsvorschrift einsetzen :

$\begin{eqnarray*} f(x + y) = (x + y)f(1) = xf(1) + yf(1) = f(x) + f(y) \end{eqnarray*}$

damit gilt die erste Linearitätseigenschaft. War das so schwer?

Zitat:

Also wenn f(1) eine Kontante aus R ist, dann wären es doch |R| Möglichkeiten, oder?? Aber reicht es das einfach so hinzuschreiben?? muss ich da nich noch was beweisen??

Die Menge der reellen linearen Funktionen ist dann

$\begin{eqnarray*} \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} | \exists m \in \mathbb{R}~ \forall x \in \mathbb{R}~f(x) = mx \} \end{eqnarray*}$

Andere kann es nicht geben wie wir oben schon gezeigt haben.

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