Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.

15.01.2010, 21:07

Anne91

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Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.

Hey Leute.
Hab ein kleines Problem mit einer Übungsserie. Die Aufgabe lautet: Entscheiden Sie, welche der folgenden Matrizen ähnlich sind und geben Sie gegebenenfalls die zugehörige Transformationsmatrix an:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So jetzt hab ich mir eben überlegt, dass ja zwei Matrix A und B ähnlich sind, falls es ein nichtausgeartetes C gibt, sodass B=C^-1 AC.
Also hab ich die Gleichung jetzt so aufgestellt und habe im Skript noch gefunden, dass die Formel äquivalent ist zu AC - CB = 0. Jetzt steht da, dass das ein lineares Gleichungssystem ergeben soll, was man mit dem Gauß-Verfahren lösen kann. Wie aber krieg ich aus Matrizen dann ein lineares Gleichungssystem??
Ich weiß, ich sollte das wahrscheinlich wissen, aber ich war jetzt 4 Wochen krankgeschrieben und habe ziemlich viel verpasst.
Schonmal danke im voraus für die Hilfe.

15.01.2010, 23:27

Reksilat

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
Hi Anne,

Eine erste Idee könnte hier sein, sich die Determinanten der Matrizen anzuschauen. Wenn $\begin{eqnarray*} B=C^{-1}AC \end{eqnarray*}$ ist, was kann man dann über die Determinanten von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aussagen?

Falls Ihr das noch nicht hattet und auch für alle Fälle, die man damit nicht ausschließen konnte:
Setze doch mal $\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in Deine Gleichung $\begin{eqnarray*} AC-CB=0 \end{eqnarray*}$ ein und rechne das aus. Dann siehst Du Dein Gleichungssystem schon.

Gruß,
Reksilat.

16.01.2010, 00:12

Anne91

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
erstmal danken, aber jetzt hab ich raus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3a & -b-2c \\ 2c+b & 3d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = 0
wie krieg ich jetzt daraus ein lineares gleichungssystem?

16.01.2010, 00:14

Reksilat

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
Mit 0 ist hier die Nullmatrix gemeint, also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn auch alle Einträge gleich sind.

16.01.2010, 00:46

Anne91

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
gut also sind die matrizen dann ähnlich wenn auf beiden Seiten die Null-Matrix steht?!
wie krieg ich dann die transformationsmatrix raus, also C raus?

16.01.2010, 00:48

Reksilat

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
Was? Klar ist die Nullmatrix zu sich selbst ähnlich. Darum geht es hier doch aber gar nicht.

Löse: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3a & -b-2c \\ 2c+b & 3d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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16.01.2010, 12:53

Anne91

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
also sind die beiden matrizen ähnlich und die Transformationsmatrix ist dann B,
also $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

16.01.2010, 13:19

Reksilat

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
Die Nullmatrix ist aber nicht invertierbar. Die Gleichung AC=CB ist für C=0 natürlich immer erfüllt, es geht hier doch aber darum, ein invertierbares C mit dieser Eigenschaft zu finden.
Bei Matrizen, die nicht ähnlich sind, wirst eben nur die Nullmatrix als Lösung finden. Die ersten beiden Matrizen sind aber ähnlich und deshalb wirst Du hier auch ein invertierbares C finden können.

16.01.2010, 13:25

Anne91

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
ich versteh das nicht so richtig. Ich habe dann das gleichungssystem:
I -3a = 0
II -b-2c = 0
III 2c+b = 0
IV 3d = 0

da kann doch nichts anderes rauskommen, als die Nullmatrix, oder?

16.01.2010, 13:31

Reksilat

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
Selbst wenn Du lange krank warst, ist und bleibt das hier ein simples lineares Gleichungssystem, dessen Lösung Schulstoff ist. unglücklich

unglücklich

Um es abzukürzen: zum Beispiel a=d=0, b=2, c=-1 ist eine Lösung.

Und jetzt weiter...

16.01.2010, 15:02

Zep

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
sitze vor dems selben problem smile

smile

der nachweis, das 2 matrizen ähnlich sind,
geht ja auch über deren eigenschaften:

a) spur ist gleich
b) determinante st gleich
c) char. polynom ist gleich => eigenwerte gleich

das sollte bei den 5 gegebenen nicht schwer sein

meine frage ist jetzt: wie kommt ich auf die Transformationsmatrix? mit fehlt da der ansatz

16.01.2010, 15:07

Reksilat

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
Hi Zep,

Lies Dir doch bitte den Thread durch! Wir suchen hier doch die ganze Zeit schon nach der Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Hier eben die für die ersten beiden Matrizen.

Gruß,
Reksilat.

16.01.2010, 15:11

Zep

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dann hab ich nur den einen teil missverstanden, sry smile

smile

kann das in etwa hinkommen das die erste TM:

1 0
0 1

sein kann?

16.01.2010, 16:17

Zep

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streich die antwort, kann ja gar nich hinkommen smile

smile

16.01.2010, 16:55

Anne91

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sorry stand wohl ein bisschen auf der leitung. danke schön.

16.01.2010, 17:59

Anne91

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
wie krieg ich raus, ob eine matrix nichtausgeartet ist?

16.01.2010, 18:05

Reksilat

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RE: Sind 2 Matrizen ähnlich? Wenn ja, Transformationsmatrix angeben.
Sag Du es mir! Du hast schließlich den Begriff der "nichtausgearteten Matrix" ins Spiel gebracht:

Zitat:

So jetzt hab ich mir eben überlegt, dass ja zwei Matrix A und B ähnlich sind, falls es ein nichtausgeartetes C gibt, sodass B=C^-1 AC.

Für mich sind zwei Matrizen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ genau dann ähnlich, wenn es ein invertierbares (d.h. reguläres) $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B=C^{-1}AC \end{eqnarray*}$ gibt.

Gruß,
Reksilat.

16.01.2010, 18:12

Anne91

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naja invertierbar = nichtausgeartet
aber wie weiß ich nach, dass eine matrix invertierbar ist?

16.01.2010, 19:26

Reksilat

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http://tinyurl.com/yl5wbkk

17.01.2010, 19:38

Chemiefreak

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Hab die selben Aufgaben und bin auf das Ergebniss gekommen, dass nur A und B ähnlich sind, wenn die anderen gehen nicht.
tr(C)=tr(D), aber die Nullstellen des Polynoms passen nicht zusammen.

so far

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