Wahrscheinlichkeit des Todes

15.01.2010, 23:29

hhuu

Wahrscheinlichkeit des Todes

die Hilfe ,bitte Tränen

Aufgabe

Die Wahrscheinlichkeit des Todes eines 30-Jährigen Mannes ist 0,006.
Eine Versicherungsfirma hat 10000 Verträge mit 30-jährigen Männern gemacht
und zahlt im Fall des Todes den Erben 2500 Euro während des nächsten Jahres aus.
Der Preis eines Vertrags beträgt 30 Euro. Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit,
dass:
a) zum Ende des Jahres diese Versicherungsfirma einen Verlust hat.
b) der Gewinn dieser Versicherungsfirma größer als 100000 Euro ist.

16.01.2010, 17:14

Lord Pünktchen

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RE: Wahrscheinlichkeit des Todes
Seien $\begin{eqnarray*} (X_i)_{i \in \{1,...,10000\}} \end{eqnarray*}$ i.i.d ZVen mit $\begin{eqnarray*} X_i = -1 \end{eqnarray*}$ , falls der i-te Mann stirbt und $\begin{eqnarray*} X_i = 0 \end{eqnarray*}$ sonst.

a) Berechne $\begin{eqnarray*} P(\sum_{i=1}^{10000} X_i \cdot 2500 + 30\cdot 10000 < 0) \end{eqnarray*}$

b) Berechne $\begin{eqnarray*} P(\sum_{i=1}^{10000} X_i \cdot 2500 + 30\cdot 10000 > 100000) \end{eqnarray*}$

Jetzt klarer, was zu tun ist?

P.S. Wenn nichtnur eine Aufgabe gepostet wird, sondern kurz erläutert wird, was man verstanden hat und wo man schwierigkeiten sieht, so kann einem zumeist besser geholfen werden.

19.01.2010, 13:30

hhuu

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ich kann nicht genau nachrechnen verwirrt

zu 10000 es ist zu viel ....? ) oder gibt es andere Methode ?
bitte könntest du mir helfen

19.01.2010, 16:05

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Zunächst mal sollte man sich zum Problem passende Zufallsgrößen heraussuchen und benennen. Lord Pünktchen hat das mit den $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ getan, aber man kann die Sache bedeutend abkürzen, indem man sich auf im wesentlichen eine Zufallsgröße beschränkt, nämlich die Anzahl $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der innerhalb dieses einen Jahres verstorbenen jungen Männer. Dann ist $\begin{eqnarray*} V \sim B(10\,000, 0.006) \end{eqnarray*}$ binomialverteilt, und man kann die genannten Gewinn- bzw. Verlustbedingungen in entsprechende Anzahlintervalle für $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ umrechnen.

Bei den hier vorliegenden Verteilungsparametern kann man bei der dann im folgenden anstehenden Wahrscheinlichkeitsberechnung auch getrost zur Normalverteilungsapproximation dieser Normalverteilung greifen.

19.01.2010, 23:04

hhuu

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bitte ,wie geht das?

$\begin{eqnarray*} P(\sum_{i=1}^{10000} X_i.2500+30.10000<0) \end{eqnarray*}$ ?
und wie benutzt man .0006? unglücklich

20.01.2010, 10:23

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Das habe ich in meinem letzten Beitrag geschrieben. Lies ihn, und stelle dann bitte konkretere Fragen, falls nötig.

20.01.2010, 12:19

Whisper

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Die Wahrscheinlichkeit des Todes eines 30-Jährigen ist 0,006. => p = 0.006
Eine Versicherungsfirma hat 10000 Verträge mit 30-jährigen gemacht => n = 10.000
Erwartungswert: p*n = 0.006*10.000 = 60
Standardabweichung: p*n*(1-p) = 59,64

a) Die Versicherungsfirma erhält 30€ * 10.000 = 300.000€
damit die Firma verlust erleidet: x = Anzahl der Toten
x* 2.500€ > 300.000€ | : 2.500€
x > 120

nun zur Binomialverteilung:

$\begin{eqnarray*} P(X>120) = 1 - P(X\leq 120) = 1 - [Phi](\frac{120 + 0.5 - 60}{59,64}) = 1 - [Phi](1.0144) = 1 - 0,8438 = 0.1562 = 15.62% \end{eqnarray*}$

B) ähnlich wie die a)
Firma gewinnt 100.000€:
x*2.500€ < 200.000€
x < 80

Binomialverteilung:
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 79) = [Phi](\frac{79 + 0.5 - 60}{59,64}) = [Phi](0.327) = 0.6255 = 62.55% \end{eqnarray*}$

Näherungsformel von Moivre und Laplace zur Standardnormalverteilung, die werte für [Phi] (k.a wie man das Symbol hinbekommt) kann man in Tabellen nachschlagen oder ausrechnen.
Bin nur über zuviel hierdrüber gestolpert, also denk ich nicht, dass ich die Seite wiederfinde und evt. Fragen beantworten kann; hoffe ich habe nirgendwo ein Fehler eingebaut und konnte weiterhelfen.

20.01.2010, 13:33

zupfi

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Hallo,

muss man nicht die Wurzel der Standardabweichung zur Berechnung nehmen, also sqrt(59,64)? Und wo hast du die 0.5 her?
Der Satz von Moivre-Laplace besagt doch in dem Fall P(X>S_n) =1-Phi((S_n-n*p)/sqrt(n*p*(1-p))

20.01.2010, 13:59

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Zitat:

Original von zupfi
muss man nicht die Wurzel der Standardabweichung zur Berechnung nehmen, also sqrt(59,64)?

Richtig - das muss in der Rechnung korrigiert werden.

Zitat:

Original von zupfi
Und wo hast du die 0.5 her?

Das nennt man Stetigkeitskorrektur der Normalverteilungsapproximation und ist so wie dort angewendet auch voll in Ordnung.

20.01.2010, 15:13

Whisper

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yo, hab vergessen Wurzel zu ziehen
demnach wäre die standardabweichung 7.722

also alle 59.46 mit 7.722 ersetzen x_X
wonach bei a)
[Phi](7.834); wobei dieser Wert bis auf ein paar dutzend stellen hinter dem komma 100% ist, wonach die Firma zu fast 0% Verlust macht

und bei b)
[Phi](2.525)

wonach sie zu 99.38% mehr als 100k € gewinn macht

20.01.2010, 19:28

hhuu

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ich danke euch ,das war toll smile

ich habe gut verstanden ,aber nur eine Sache hab ich nicht in Tabelle gefunden ,es ist $\begin{eqnarray*} \Phi(7.834) \end{eqnarray*}$ ,in der Tabelle bis 3.4 steht

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