Stochastische Unabhängigkeit bei unterschiedlichen Ereignissen

16.01.2010, 00:05	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Unabhängigkeit bei unterschiedlichen Ereignissen Hallo Zusammen! Ich habe folgende Aufgabe "eigentlich "gelöst, jedoch bin ich mir bei der Interpretation nicht ganz sicher. Aufgabenstellung: Beim Werfen eines Laplace-Würfels sei A = {2, 4, 6}, B = {2, 3}, C = {1, 3, 5}. Welche Paare A,B; A,C; B,C sind stochastisch unabhängig? Meine Lösung: Es gilt: $\begin{eqnarray} A \cap B = \{2\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac {1} {6} \end{eqnarray}$ Folgt: $\begin{eqnarray} P(B) = \frac {P(A \cap B)} {P(A)} = \frac {1} {3} \Rightarrow \end{eqnarray}$ unabhängig Das gilt auch für das Tupel (B,C), jedoch bin ich mir bei (A,C) nicht sicher: $\begin{eqnarray} A \cap C = \{\ \} \Rightarrow P(A \cap B) = 0 \end{eqnarray}$ Folgt: $\begin{eqnarray} P(C) \neq \frac {P(A \cap C)} {P(A)} \neq \frac {1} {2} \neq 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ abhängig Jetzt ist doch P(A geschnitten B) mengenartig betrachtet { }. Da ich obiges Bsp. aber als zweistufigen Zufallsversuch sehe, sollten doch, die Pfadwahrscheinlichkeiten für P(A geschnitten B) = 1/4 sein!? Zuerst wollte ich es auch so lösen, merkte aber schnell, dass auf diese Art jedes Ereignis unabhängig ist. Meine Frage ist nun: Wo liegt mein Überlegungsfehler, oder was habe ich noch nicht verstanden, damit mich so etwas überhaupt verunsichert? Danke im Voraus
17.01.2010, 10:50	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stochastische Unabhängigkeit bei unterschiedlichen Ereignissen Deine Lösung, A und C sind abhängig, weil $\begin{eqnarray} P(A\cap B)=0\neq P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray}$ ist richtig. Das ist ja auch anschaulich klar, weil sich die beiden Ereignisse gegenseitig ausschließen. Die sind also salopp gesprochen nicht nur ein wenig abhängig, die sind 100 % abhängig. Mit einem Baumdiagramm und Pfadwahrscheinlichkeiten ergibt sich dasselbe Ergebnis. Zu betrachten ist die Wahrscheinlichkeit des Pfades A trifft zu und B trifft zu. Der erste Teil des Pfades ( A trifft zu) hat die Wahrscheinlichkeit 1/2. Der zweite Teil des Pfades (B trifft zu) hat die Wahrscheinlichkeit 0 und nicht 1/2. Denn für den zweiten Teil des Pfades ist zu beachten, dass jetzt A trifft zu schon vorausgesetzt ist. Mit anderen Worten: Bei Baumdiagrammen und Pfadwahrscheinlichkeiten sind eventuelle Abhängigkeiten zwischen den Ereignissen zu berücksichtigen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem Baumdiagramm hängt also davon ab, an welcher Stelle des Baumes man es betrachtet.
17.01.2010, 21:59	franziskar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stochastische Unabhängigkeit bei unterschiedlichen Ereignissen Hallo Huggy OK, aber wenn B eintritt muss ja auch davon ausgegangen werden, dass A schon eingetroffen ist. Trotzdem ist (A,B) unabhängig. Aber ich denke, ich weiss jetzt wie ich das erklären kann. Um die Stochastische Unabhängigkeit rein rechnerisch zu erklären, müssen mindestens zwei der folgenden Wsk. bekannt sein: P(A) oder P(B), und P(A geschnitten B), und P(A\|B). Fehlen einige der Werte, müssen die Strukturen der Ereignisse untersucht werden. Also: Sind die Ereignisse eine Partition von Omega, oder welche Ereignisse sind disjunkt, oder manchmal kann man die unabhängigkeit logisch begründen. D. h. die Unabhängigkeit ergibt sich aus dem Text. Ich denke dieses Schema sollte gehen

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