differenzierbare 1-Formen w geschlossen

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smiiile Auf diesen Beitrag antworten »
differenzierbare 1-Formen w geschlossen
Hallo an alle.
Ich habe diese Aufgabe gegeben, weiß aber nicht wirklich, wie ich hier vorgehen kann.

[attach]12986[/attach]

Irgendwie sehe ich keinen rechten Zusammenhang zwischen den gegebenen Sachen und dem was ich zeigen soll - komme also nicht darauf, wie ich anfangen kann.
Wäre super, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wie ich die Aufgabe lösen kann.

Gruß,
smiiile
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst also zeigen, dass .
Wende doch mal auf die Gleichheit an.

Nun wähle beliebige Vektoren und einen beliebigen Punkt und berechne konkret

wobei das Fragezeichen kannst du mit dem ersten Teil finden.
Dann nutze die lineare Unabhängigkeit.
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

supervielen Dank für deine Antwort.
Habe ich das richtig verstanden, dass ich zeigen muss weil gilt:

w geschlossen ?

Also wenn ich das d auf die Gleichheit anwende, erhalte ich



Ich glaube stimmt das? Ich habe das nur gelesen und weiß nicht genau, warum das so ist.

Das d bedeutet ja, dass ich nach jeder Variablen einzeln ableiten muss. Deshalb bin ich mir bei der rechten Seite unsicher. Die Aussage gilt ja für alle j von 1 bis n einzeln. Also es gilt

und
,...

Eigentlich habe ich also immer nur eine Variable da stehen, es gilt aber für alle j von 1 bis n.
Also muss ich auch nur eine Ableitung machen.

Stimmt dann für die rechte Seite

? Oder wie muss ich mit den Dach umgehen? Das bildet ja stärker als ein Mal und wird immer mitgenommen.

Also insgesamt hätte ich dann




Was meinst du dazu?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, in meinem obigen Beitrag stimmt es nicht ganz, hab nicht beachtet, dass eine 3-Form ist.
Ich muss nochmal über meinen Hinweis nachdenken, aber ich glaube es geht.


Zitat:
Original von smiiile
w geschlossen ?


Ja, das ist die Definition.

Naja, es ist immer für jede Differentialform . Das ist ein Satz und letztendlich ist es der Satz von Schwarz, der dahintersteckt.

Für eine r-Form und eine s-Form gilt:
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

So wie ich das sehe muss man das ein bischen anders machen.
Wie zuvor, wende auf an und du kriegst etwas für .
Beachte, dass wenn eine 1-Form ist, dass dann .

Weiter hast du gegeben, dass linear unabhängig sind, das heisst aus Dimensionsgründen sind sie eine Basis von .
Wie kriegst du dann eine Basis für und ?

Nun stelle in der Basis von dar und folgere, dass die Koeffizientenfunktionen alle identisch Null sind indem du

ausschreibst.
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Naja, es ist immer für jede Differentialform . Das ist ein Satz und letztendlich ist es der Satz von Schwarz, der dahintersteckt.

Für eine r-Form und eine s-Form gilt:

Dann gilt also hier:

.
Jetzt müsste ich nur noch rausfinden, was r ist. Dann weiß ich, ob an der Stelle ein + oder - steht. Da omega eine 1 Form ist, ist also auch r = 1 und es gilt:

wenn ich nun den nach auflöse, erhalte ich




Zitat:
Weiter hast du gegeben, dass linear unabhängig sind, das heisst aus Dimensionsgründen sind sie eine Basis von .

Ja, das ist klar. Es sind auch genau n Vektoren und wenn n Vektoren im linear unabhängig sind, sind sie eine Basis.

Aber was genau bedeutet das Zeichen . und ?
Kann es sein, dass das eine Art Summenzeichen für das Dachprodukt ist? Dann bräuchte ich wenn ich oben eine zwei stehen habe doppelt so viele also von und für bräuchte ich dann

Stimmt das soweit?

Zitat:
Nun stelle in der Basis von dar und folgere, dass die Koeffizientenfunktionen alle identisch Null sind indem du

ausschreibst.

Hier weiß ich noch nicht genau, wie ich das machen soll.
Ich kann etwas ja in einer Basis darstellen, indem ich jeden von den Basisvektoren mit einer Zahl multipliziere und dann die Ergebnisse addiere. So hat das zumindest immer mit Vektoren funktionniert. Ich mache also eine Linearkombination von den Elementen der Basis. Also irgendetwas in der Art

.
Aber was genau stehe dann bei a bis z? Und wieviele brauche ich überhaupt? Ich habe ja immer 2n Vektoren. Wenn ich die jetzt ausschreiben soll, muss ich ja wissen, welche Zahl n ist. Und die habe ich noch nirgends erkannt.

Jetzt soll ich noch ausschreiben. Links steht dann ja das von oben: Rechts soll ich das ausschreiben. Also mit j = 1 bis n oder?
Ist das dann .
Hier bin ich mir bei den Plus zwischen den einzelnen Faktoren unsicher. Ich weiß aber gar nicht, welches Zeichen ich hier hinsetzen kann.
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von smiiile



Ja genau. Nun weisst du aber schon, dass .
Jetzt einsetzen.

Zitat:
Original von smiiile
Ja, das ist klar. Es sind auch genau n Vektoren und wenn n Vektoren im linear unabhängig sind, sind sie eine Basis.


Nein, anscheinend ist es dir nicht klar. sind 1-Formen und keine Vektoren aus .
Genauer:
Es sind Elemente des Dualraumes und du kannst leicht überprüfen, dass die Dimension n hat.
Mit einer Basiswahl kriegt man dann letztendlich einen Isomorphismus zwischen dem Dualraum und , was wohl eure Schreibweise für den Vektorraum der 1-Formen ist.

Entsprechend sind dann die Räume der r-Formen.

Der Rest ist leider Unsinn.

Schau mal in der Vorlesung bei den Koordinatendarstellungen von Differentialformen.
Du hast, dass die eine Basis vom Raum der 1-Formen sind, also kann man jede 1-Form schreiben als

wobei die differenzierbare Funktionen auf sind.

Dann schau mal nach, wieso zb. mit eine Basis vom Raum der 2-Formen sind.
Damit dann ausschreiben.
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ich habe also und setze auf der rechten Seite ein, also erhalte ich



Da omega eine 1-Form ist gilt also gilt



Zitat:
Nein, anscheinend ist es dir nicht klar. sind 1-Formen und keine Vektoren aus .
Genauer:
Es sind Elemente des Dualraumes und du kannst leicht überprüfen, dass die Dimension n hat.
Mit einer Basiswahl kriegt man dann letztendlich einen Isomorphismus zwischen dem Dualraum und , was wohl eure Schreibweise für den Vektorraum der 1-Formen ist.

Entsprechend sind dann die Räume der r-Formen.

Ja, ok, also das mit den Vektoren sollte eher ein Beispiel für die lineare Unabhängigkeit von n Elementen im einem n-dimensionalen Raum sein und mit Vektoren kann ich mir das eben besser vorstellen als mit 1-Formen. Aber du hast schon Recht, man sollte da mit 1-Formen argumentieren.
Also sind dann die Räume der 2-Formen.

Zu den Koordinatendarstellungen habe ich das hier gefunden:
[attach]13008[/attach]
Da steht ja auch wieder drin, dass man jede 1-Form als Linearkombination darstellen kann.

Zitat:
Dann schau mal nach, wieso zb. mit eine Basis vom Raum der 2-Formen sind.

Dazu habe ich nicht wirklich was gefunden. Alles was ich in meinem Aufschrieb zu Basis gefunden habe ist.
Für alle bilden eine Basis von , genauer die duale Basis zu
wenn i=j und 0 sonst.
Dabei ist V ein Vektorraum un V* der Dualraum. .

Ich sehe aber noch nicht, was mir das hier bringen soll und ich wir haben das auch unter 1-Formen aufgeschrieben. Ich suche hier aber ja eine Basis einer 2-Form.

Ich komme irgendwie nicht drauf, warum wieso zb. mit eine Basis vom Raum der 2-Formen ist. Wäre denn eine Basis einer 1-Form dann mit i von 1 bis n und eine Basis einer 3-Form mit i,j,k von 1 bis n?

Zitat:
Damit dann ausschreiben.

So, jetzt habe ich ein Problem: ich soll ja dw ausschreiben. w ist eine 1-Form. Das soll ich aber mit einer Basis für eine 2-Form ausschreiben?
Für eine 1-Form w gilt ja
Also gilt hier auch

Ich würde das jetzt so schreiben, da ich ja die Basis für die 2-Form verwenden soll



ich weiß hier aber nicht, ob das überhaupt ungefähr stimmt und welche Zahlen ich für i und j einsetzen soll...
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von smiiile



Ganz genau.

Zunächst:
ist nicht der Raum einer gewissen Form, sondern der Vektorraum aller r-Differentialformen die auf definiert sind.

Wie sieht denn eine typische 2-Form aus? Sie ist definiert als eine Kombination von 1-Formen unter dem Wedgeprodukt, also

wobei wie in deiner Aufgabe eine Basis vom Raum der 1-Formen sind und mit differenzierbaren Funktionen .
Nun nutze aus, dass für und dass ist [was ihr sicherlich bewiesen habt].
Damit siehst du, dass in der obigen Darstellung ziemlich viele Summanden Null sind.
Am Ende kriegst du

[diese Summe bedeutet, dass man alle Kombinationen von Indices i und j zwischen 1 und n nimmt, aber nur solche mit ].

Ganz ähnlich geht das mit , und dort mit den Formen
mit .

Wo lebt denn nun ? Wie sieht dann eine Basisdarstellung davon aus?
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nun nutze aus, dass für und dass ist [was ihr sicherlich bewiesen habt].
Damit siehst du, dass in der obigen Darstellung ziemlich viele Summanden Null sind.


Ja, das haben wir gezeigt. Also würde ich die Summer erst einmal so umschreiben

Da ja alle Terme rausfallen, bei denen i=j ist.
Wenn ich das ausschreibe, erhalte ich



Wenn ich nun verwende, dass ein Minus reinkommt, wenn ich das Dachprodukt umdrehe, erhalte ich:



jetzt kann ich jeweils das Dachprodukt ausklammen und erhalte



Aber ich sehe jetzt nicht die Terme, die alle noch rausfallen, damit ich auf dein Ergebnis komme. Bei deinem Ergebnis ist ja z.B. nicht mehr dabei. Wie wird dass denn zu Null? Ich hatte erst überlegt, dass sich einige Summanden wegen dem Minus das ja durch das Verdrehen reinkommt aufheben, aber das f davor ist ja immer noch verschieden, sodass sich keine Summanden rausheben. Oder sehe ich das falsch?

Zitat:
Ganz ähnlich geht das mit , und dort mit den Formen
mit .


Bei müsste dann für die 3-Form dann gelten:



Zitat:
Wo lebt denn nun ? Wie sieht dann eine Basisdarstellung davon aus?

Dann könnte ja eine Basis hier sein.
hmm, also wo omega lebt ist nicht so einfach.. ich würde sagen, es gilt ja . Also bilden die Funktionen f ja mal in den R ab. Dann kommt dazu aber ja noch jeweils ein Dachprodukt. Wohin bildet denn das Dachprodukt ab? Und ist das immer dasselbe? Also bildet in den gleichen Raum ab wie ? Vielleicht hat das ja etwas mit dem Dualraum zu tun, den wir vorher schon hatten.
1-Formen bilden zumindest in den Dualraum ab. Bei 2-Formen und 3-Formen bin ich mir da nicht so sicher.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das nicht genau genug geschrieben.
Das was ich sagen wollte ist, dass man für jede 2-Form eine Darstellung wie oben gesagt hat, wobei diese gewisse differenzierbare Funktionen sind.
Du hast es richtig gemacht. Ich will aber noch erwähnen, dass diese Doppelsumme noch viel mehr Summanden hat beim ausschreiben.
Um die gewünschte Darstellung zu erhalten würde man jetzt zb setzen und alles steht da.
[Für einen rigorosen Beweis braucht man allerdings noch die lineare Unabhängigkeit].

Du hast die Abbildung

das heisst also eine Abbildung, die eine r-Form nimmt und daraus eine (r+1)-Form macht.

Da eine 1-Form ist, muss eine ...-Form sein.
Da ... eine Basis von ... ist, gibt es Funktionen so, dass
.
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Um die gewünschte Darstellung zu erhalten würde man jetzt zb setzen und alles steht da.

Wenn ich das annehme, erhalte ich aus







jetzt steht aber überall an der ersten Stelle eine 1.. Da müssten ja auch noch die anderen Terme dazu, die an der ersten Stelle eine 2 und an der zweiten eine größere Zahl haben und die die an der ersten Stelle eine 3 und an der zweiten eine größere haben,...
Also erhalte ich so genau die Summe, die du oben angesprochen hast.



Zitat:
[Für einen rigorosen Beweis braucht man allerdings noch die lineare Unabhängigkeit].

Wie kann ich die denn noch reinbringen. Das ist ja auch gegeben, also sollte ich es ja schon benutzen, oder?

Zitat:
Du hast die Abbildung

Da eine 1-Form ist, muss eine 2-Form sein.
Da eine Basis von der 1-Form w ist, gibt es Funktionen so, dass
ist.

Habe ich das richtig ausgefüllt?

Was ich immer noch nicht ganz verstehe ist das mit dem Ist das dasselbe wie ? Oder ist das etwas anderes? Da wir oft schon etwas in der Art an der Tafel stehen hatten wie .
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von smiiile

Zitat:
Du hast die Abbildung

Da eine 1-Form ist, muss eine 2-Form sein.
Da eine Basis von der 1-Form w ist, gibt es Funktionen so, dass
ist.

Habe ich das richtig ausgefüllt?



Fast perfekt Augenzwinkern .
Das Einzige ist, dass keine Basis einer gewissen Form ist, sondern eine Basis des Vektorraumes aller 2-Formen.

So, nun weisst du ja, dass .
Nun setze die Darstellung von hier ein und du erhälst eine Linearkombination von gewissen .
Und da die eine Basis von ... sind, müssen die Koeffizientenfunktionen alle konstant ... sein.

Zitat:
Original von smiiile
Was ich immer noch nicht ganz verstehe ist das mit dem Ist das dasselbe wie ? Oder ist das etwas anderes? Da wir oft schon etwas in der Art an der Tafel stehen hatten wie .


Na da musst du genau lesen was es ist. Der Prof erwähnt es irgendwo ganz sicher.
Wenn ich es hier verwendet habe, dann bezeichnen und beidesmal Differentialformen.
In dem geschildertem Fall von deiner Tafel ist das wohl auch so.
Das ist ja eine "Ableitung für Formen" und bedeutet, dass die Form eine "Stammform" hat. Das heisst es gibt eine Form mit .
smiiile Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So, nun weisst du ja, dass .
Nun setze die Darstellung von hier ein und du erhälst eine Linearkombination von gewissen .
Und da die eine Basis von ... sind, müssen die Koeffizientenfunktionen alle konstant ... sein.


Ja, ich weiß, dass .
Könnte ich dann nicht einfach sagen, eine Möglichkeit wäre dw=0 und ich habe eine Lösung. Die andere Möglichkeit ist, dass ich dw einsetze und irgendwo ein habe, denn =0 und damit würde der ganze Rest von der Linearkombination, der da auch noch steht =0?

Wenn ich jetzt die Darstellung von dw einsetze, erhalte ich



Und da ist das gesamte =0, oder sind das verschiedene ks?

so, jetzt noch ausfüllen:
Und da die eine Basis von der 2-Form sind, müssen die Koeffizientenfunktionen alle konstant in (?)sein.
Also beim zweiten Eintrag bin ich mir da nicht so sicher...

Und ich habe den Unterschied zwischen n=2 und n=3 noch nicht verstanden. Oder haben wir das noch gar nicht gemacht?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht richtig.

ist eine 2-Form, also gibt es Funktionen so, dass
[bitte begründe dies].

Nun einsetzen:
Sei .


Sei nun ein beliebiger Punkt.
Setze diese in (*) ein:

Da hast du also eine gewisse lineare Kombination von .
Wieso muss jetzt aber immer sein?
Bedenke, die Form ist eine 3-Form.

Zu dem was du ausgefüllt hast:
Die sind keine Basis einer Form, sondern eine Basis von und das ist der Vektorraum aller 2-Formen die auf definiert sind.

Eine k-Form auf einer offenen Menge ist eine Abbildung:

so, dass sie linear ist für ein festen Wert im ersten Argument.
Das heisst ein Ding, dass pro Punkt von immer k Vektoren frisst und dir daraus eine Zahl produziert.
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