Nebenbedingungen aufstellen/Lagrange

16.01.2010, 10:59

Hansiwansi

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Nebenbedingungen aufstellen/Lagrange

Hallo!
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Eine Firma stellt ein Produkt p aus drei Rohstoffe x, y und z her.Der Ertrag bei der Produktion ergibt sich zu f(x,y,z)=ln( $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } *y^{\frac{1}{3} } *z^{\frac{1}{6} } \end{eqnarray*}$ ).Die Rohstoffe kosten jeweils 1€ je Einheit und die Firma hat 10.000€ zur Verfügung.Wie sollte sie die Rohstoffe einsetzen, um einen maximalen Ertrag zu erzielen?

Wenn man diese Aufgabe mit der Lagrange Methode lösen will braucht man ja Nebenbedingungen,aber ich weiß nicht wie ich diese bei der Aufgabe aufstelle verwirrt

verwirrt

16.01.2010, 11:00

tigerbine

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RE: Nebenbedingungen aufstellen/Lagrange

Zitat:

Original von Hansiwansi
Die Rohstoffe kosten jeweils 1€ je Einheit und die Firma hat 10.000€ zur Verfügung.

16.01.2010, 11:04

Hansiwansi

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wär dann meine nebenbedingung 1*x1+1*x2-10000=0?

16.01.2010, 11:05

tigerbine

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Wohl nicht, wenn du vorher die 3 Variablen x,y,z eingeführt hast.

16.01.2010, 11:10

Hansiwansi

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achso dann mit den 3 variablen 1x1+2x2+3x3-10000=0

16.01.2010, 11:11

tigerbine

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unglücklich

, aber fast.

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16.01.2010, 11:18

Hansiwansi

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hmmm jetzt weiß ich echt nicht weiter,die nebenbedingung muss ich ja bei der berechnung mit lambda multiplizieren,aber es sind ja nur die preise von jeweils 1 € und das budget von 10000 bekannt verwirrt

verwirrt

16.01.2010, 11:20

tigerbine

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Meine Güte, wenn du in der Funktion x,y,z verwendest, kannst du dann nicht einfach x1,x2,x3 daraus machen. Das wollte ich sagen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.01.2010, 11:22

Hansiwansi

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achso ja stimmt^^ also so: 1x+1y+1z-10000=0

16.01.2010, 11:24

tigerbine

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Augenzwinkern

16.01.2010, 11:37

Hansiwansi

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wenn ich jetzt die einzelnen partiellen ableitungen erstelle,muss ich dann auch noch nach lambda ableiten oder einfach nur nach x,y und z und dann die gleichungen lösen?

16.01.2010, 11:40

tigerbine

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Das steht doch in der Definition des Verfahrens. http://www.eco.uni-heidelberg.de/ng-oeoe...gsverfahren.pdf

16.01.2010, 12:15

Hansiwansi

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so ich hab die aufgabe jetzt mal gerechnet:

L(x,y,z, $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ )=ln( $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2} } *y^{\frac{1}{3} } *z^{\frac{1}{6}) }+\lambda*(1x+1y+1z-10000) \end{eqnarray*}$ )

erstmal die partiellen ableitungen:

nach x: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x}+\lambda *1 \end{eqnarray*}$ =0

nach y: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3y}+\lambda *1 \end{eqnarray*}$ =0

nach z: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6z}+\lambda *1 \end{eqnarray*}$ =0

nach lambda: 1x+1y+1z-10000=0

dann habe ich die gleichungen gelöst:
x=(3/2)y
y=(2/3)x
z=(3/6)z
für lambda hab ich noch keine Lösung.Ist das bis jetzt so richtig?

16.01.2010, 17:49

Hansiwansi

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kann jemand bestätigen ob das richtig ist? Lehrer

Lehrer

16.01.2010, 21:39

Hansiwansi

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ich seh grad dass man noch eine fallunterscheidung machen muss wie geht das denn genau.hab grad keine ahnung.wann muss ich denn die fallunterscheidung machen? wär cool wenn mir jemand helfen könnte.danke. Freude

Freude

16.01.2010, 22:36

tigerbine

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Du bist doch kein Newbie mehr. Erstelle einen sauberen Beitrag mit latex. unglücklich

unglücklich

Wirf einen Blick in das Dokument, dann lautet die Lagrangefunktion (Schritt 2)

$\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda)&& =f(x,y,z) + \lambda g(x,y,z) \\<br /> && = \ln(x^{\frac{1}{2} } \cdot y^{\frac{1}{3} } \cdot z^{\frac{1}{6}})+\lambda\cdot (x+y+z-10000) \end{eqnarray*}$

Schritt 3: bestimme die partiellen Ableitungen

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial x}(x,y,z,\lambda)=\frac{1}{x^{\frac{1}{2} } \cdot y^{\frac{1}{3} } \cdot z^{\frac{1}{6}}} \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\cdot y^{\frac{1}{3} } \cdot z^{\frac{1}{6}} + \lambda = \frac{1}{2x}+ \lambda \stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y}(x,y,z,\lambda)=\frac{1}{x^{\frac{1}{2} } \cdot y^{\frac{1}{3} } \cdot z^{\frac{1}{6}}} \cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3} } \cdot z^{\frac{1}{6}} + \lambda = \frac{1}{3y}+ \lambda \stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y}(x,y,z,\lambda)=\frac{1}{6z}+ \lambda \stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial \lambda}(x,y,z,\lambda)=x+y+z-10000 \stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

Du hast die Gleichungen nicht gelöst. Wir haben ja noch kein konkretes Ergbenis. Und bei dir ist z=0.5z, was nur für z=0 gelten würde, dann ist aber auch f(x,y,z)=0 und wir suchen ein Maximum

$\begin{eqnarray*} \lambda = -\frac{1}{2x} = -\frac{1}{3y} = -\frac{1}{6z} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda = -\frac{1}{6(\frac{x}{3})} = -\frac{1}{6(\frac{y}{2})} = -\frac{1}{6z} \end{eqnarray*}$

16.01.2010, 22:46

Hansiwansi

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ok danke,also am ende hast du ja erst die gleichungen nach lambda aufgelöst und gleichgesetzt.ich verstehe jetzt nur nicht was ich mit der gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda = -\frac{1}{6(\frac{x}{3})} = -\frac{1}{6(\frac{y}{2})} = -\frac{1}{6z} \end{eqnarray*}$ machen muss verwirrt

verwirrt

16.01.2010, 22:49

tigerbine

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Nutze sie zur Lösung der Aufgabe. Du musst doch irgendwie auf eine Gleichung mit nur einer Unbekannten kommen.

16.01.2010, 23:10

Hansiwansi

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wenn ich jetzt die I. Gleichung - die II.Gleichung rechne also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x}+ \lambda- \frac{1}{3y}+ \lambda \end{eqnarray*}$

dann kann ich ja x und y jeweils in abhängigkeit der anderen variable berechnen.
und z hatte ich eben falsch berechnet,es ist z=0,5y.
also habe ich die werte :
y=-2/3x
x=-3/2y
z=0,5y

wenn ich jetzt die lambdas einsetze und das berechne komme ich auf die gleichen werte,deswegen weiß ich grad nicht was ich falsch mache.blick grad irgendwie nicht mehr durch^^

16.01.2010, 23:28

tigerbine

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Ich habe das ja nicht ohne Grund so im Nenner umgeschrieben.

16.01.2010, 23:53

Hansiwansi

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so ich hab jetzt die umgestellten terme benutzt und jeweils in die gleichungen eingesetzt und x,y und z berechnet.

x=3z
z=x/3
y=2z

ist das so richtig?

17.01.2010, 00:30

tigerbine

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Ziel wäre es doch einmal alles in Abhängigkeit von einer Variable zu haben. Das dann einzusetzen und diese zu bestimmen.

17.01.2010, 10:36

Hansiwansi

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wenn ich die berechneten werte in abhängigkeit wieder einsetze kriege ich die variablen nicht weg.wie muss ich denn am besten fortfahren um die gleichungen zu lösen?ich komm irgendwie nicht dahinter wie ich das gleichungssystem lösen soll.kann man sowas auch mit gauss lösen?

17.01.2010, 11:47

tigerbine

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Ich wiederhole ncheinmal, schau dir meine letzte Zeie genau an. Dann kann man alles durch z ausdrücken.

17.01.2010, 12:00

Hansiwansi

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damit dieser Term $\begin{eqnarray*} \lambda = -\frac{1}{6(\frac{x}{3})} = -\frac{1}{6(\frac{y}{2})} = -\frac{1}{6z} \end{eqnarray*}$ erfüllt wird hab ich als ergebnis:

x=3z
y=2z
z=1

dann krieg ich ja bei den 3 termen 1/6z heraus.aber jetzt hab ich es ja immer noch in abhängigkeit.

17.01.2010, 12:08

tigerbine

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z ist doch nicht 1. unglücklich

unglücklich

Aber man kann alles durch z ausdrücken. Und dann war da ja auch noch die Nebenbedingung

17.01.2010, 12:20

Hansiwansi

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es müsste 1 z heißen dann passt es oder? wenn ich jetzt die werte in die nebenbedingung einsetze komme ich auf 10000/6=z^^

17.01.2010, 12:26

tigerbine

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Wie lauten dann die anderen Variablen. Bekommst du eine zulässige Lösung? Ist sie ein Extremwert?

17.01.2010, 12:32

Hansiwansi

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ich hab die anderen variablen jetzt mit der gleichung der nebenbedingung berechnet und erhalte:

x=5000
y=3333,33

17.01.2010, 17:41

Hansiwansi

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könnte mir jemand noch bei den letzten schritten helfen?dann kann ich die aufgabe endlich zu ende bringen,wär nett.danke Big Laugh

Big Laugh

17.01.2010, 19:21

Hansiwansi

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soo ich habs nochmal versucht:
also erstmal habe ich alle variablen mit z ausgedrückt:

3z=x
2z=y
z=-1z

dann hab ich die gleichung der nebenbedingung genutzt und hab dann erst z berechnet und dann durch einsetzen die einzelnen variablen berechnet:

z=1666 2/3
y=3333 1/3
x=5000

wenn ich die werte in die nebenbedingung einsetze kommt ja 10000 raus ich weiß nur nicht ob ich richtig gerechnet habe. verwirrt

verwirrt

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