Grenzwert e und Kotangens

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Joachim2 Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert e und Kotangens
Hallo,
ich habe gerade versucht folgenden Grenzwert zu berechnen:


Das ganze einmal für +0 und -0. Ich habe versucht den Kotangens mit Sinus und COs umzuschreiben und dann mit (x/x) zu erweitern. Aber da komme ich auf (cos x)/x. Und das bringt mir ja auch nicht all zu viel, oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Welches Problem siehst du? , etwas Riesengroßes im Nenner bei einem konstanten Zähler bewirkt, dass der Bruch gegen Null geht.

mY+

Joachim2 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja also da würde ja gegen 0 1 raus kommen.
in der Lösung steht
Für
x->+0: 0
x->-0: 1
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Der rechtsseitige Grenzwert kann nicht Null sein, wegen der 1 vor dem Bruch. Auch der Graph zeigt das. Kommst du von links, ergibt sich allerdings etwas anderes, aber NICHT 1.

mY+
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos


Es gilt doch

oder übersehe ich da jetzt was wichtiges? verwirrt
Joachim2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann von rechts: 1 links: dürfte dann unendlich sein.
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Genauer:
Der Cotangens hat bei 0 eine Polstelle mit VZW!

@pseudo ... stimmt schon, du hast Recht. Ich hatte bei Unendlich kein +/- Vorzeichen dazugeschrieben; das braucht man normalerweise an den Unstetigkeitsstellen des Tan oder Cot ja nicht ...

mY+
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Genauer:


Das heißt du fasst als auf.

Wenn ja, warum?
Denn das Symbol macht doch genau das selbe, nur das es kohärent mit der Symbolik in ist.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pseudo-nym
Wenn ja, warum?


Wird öfter so gemacht, bei uns in Analysis I übrigens auch, sozusagen. Man unterscheidet hier klar zwischen +oo und -oo und wenn es für beide gilt, dann spricht man von oo.

air
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Zitat:
Original von pseudo-nym
Wenn ja, warum?

Man unterscheidet hier klar zwischen +oo und -oo
air


Bei der von mir propagierten Variante wird nicht weniger zwischen und unterschieden.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ja nichts gegen deine Variante gesagt, nicht wahr?
Es gibt aber eben auch diese Interpretation.

Auch symbolisch kann man es begründen:
Wenn ich die Elemente zur Menge der Zahlen hinzufüge, dann muss ich ihnen einen Namen geben. Benenne ich das Symbol mit "+ oo", dann muss ich es auch so schreiben. Nur "oo" ist dann nicht definiert, da es ein anderes Symbol ist.

Letztlich ist eben beides gültig und abhängig davon, wie es eingeführt wurde. Beides hat seine Vorteile.

air
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Ich habe ja nichts gegen deine Variante gesagt, nicht wahr?


Ich habe nach positiven Eigenschaften die "eure" Schreibweise im Gegensatz zu "meiner" gefragt. Im letzen Post wollte ich darstellen, dass die von dir aufgeführte Unterscheidung eine Eigeschaft beider Schreibweisen ist, und ich somit denke, dass dein Argument nicht zählt.

Warum ich dieses Fass überhaupt aufmache, ist wohl weil ich finde, dass für Elemente von die selben Konventionen gelten sollten, da sie ähliche Eigenschaften haben.

Nun gilt, für relle Zahlen ja und insofern brincht "eure" Schreibweise hier für Unendlich eine Konvention, was ich als einen Nachteil erachte weil das nicht wirklich zur Übersichtlichkeit beiträgt.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Unendlichkeiten als Zahlen betrachten ist für Schüler sowieso verwirrend und man sollte ganz darauf verzichten.

Auch "unsere" Schreibweise hat ihren Vorteil. Und wenn man weiß, was man meint, weil man es ordentlich eingeführt hat, dann ist das okay.
In der Schule hat man das wohl nicht. Aber da sollte man auch nicht so damit umgehen.

Gerade für Schüler finde ich die Schreibweise "+oo" einfach praktischer, weil sie das Vorzeichen klarstellt.

air
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Unendlichkeiten als Zahlen betrachten

Wie meinst du das?
Zitat:
Original von Airblader
Gerade für Schüler finde ich die Schreibweise "+oo" einfach praktischer, weil sie das Vorzeichen klarstellt.

Mit dem selben Argument könnte ich aber verlangen +2 nicht mehr als 2 zu schreiben.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Normale Zahlen mit Unendlichkeiten zu vergleichen finde ich aber sehr unpassend. Unendlichkeiten sind im Verständnis für Schüler oft schwer.

Wie ich es meinte:
Du willst Verträglichkeit mit den Zahlen in IR. Warum? Unendlich ist keine Zahl, außer du erweiterst IR topologisch. Schülern sollte klargemacht werden, dass es keine Zahl ist, wir kennen doch diese Missverständnisse.

Ich möchte mich hier aber nicht streiten. Wie gesagt, für mich haben beide Schreibweisen Vor- und Nachteile.

air
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Normale Zahlen mit Unendlichkeiten zu vergleichen finde ich aber sehr unpassend. Unendlichkeiten sind im Verständnis für Schüler oft schwer.

Dieses Argument halte ich für sehr gefährlich, denn die Mathematik nimmt keine Rücksicht darauf was der Lernende kann und lässt hin gegebenenfalls einfach mit falschen Vorstellungen zurück. Wenn ein Thema in der Schule für die Schüler zu schwer ist, dann sollte man es nicht behandeln.

Interessanter finde ich allerdings, und das sollte bevor die Diskussion weitergeführt wird geklärt werden, das mir gerade meine Unwissenheit im Bezug auf die Frage, welche Eigenschaften eine "Zahl" charakterisiert, auffällt.


Auf Wikipedia heißt es, alle Zahlen würden Quantitäten beschreiben, aber ich habe Probleme dieses Konzept mit mit Komplexen Zahlen oder den Quarerionen zu verbinden. verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Frage, die hier nicht ganz reinpasst. Als Zahl sehe ich temporär die Elemente der reellen Zahlenmenge an, und Unendlich ist keine davon.

air
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wird deine Aussage von wegen "Unendlichkeiten als Zahlen zu betrachten" natürlich Defintionssache.

Nun ist es ja möglich die topologischen Verhältnisse so zu gestalten, dass sich und Elemente aus nicht mehr großartig unterscheiden und die Frage ist jetzt wohl: Warum hälst du es für wichtig, die Definitionen so zu legen, das sich die beiden Dinge unterscheiden.

Warum ich das nicht so machen würde, liegt außerdem schlicht an meiner Faulheit.
Der Audruck ist, einfach zu kompakt, um ihn nicht zu benutzen. Big Laugh
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich kann man IR topologisch entsprechend ergänzen, nicht aber, ohne schon gewisse Regeln einzubüßen. Wo ist also das Problem, auch die Vorzeichensache einzubüßen? Augenzwinkern

Ja, dein Ausdruck ist kompakt. Aber auch "unsere" Schreibweise hat eben Vorteile in einer kürzeren Schreibweise an anderen Stellen, jedenfalls für uns in der Ana-Vorlesung.

Aber nochmal: Unendlichkeiten sind für Schüler ein schweres Konzept, du kennst doch auch zu Genüge die Probleme, die entstehen.

Ich habe mir früher auch immer gedacht: "Wieso diese +? Ist doch klar, was ich meine, wenn kein Minus davorsteht". Ich habe im Studium meine Meinung geändert.

Aber nochmal: Beides geht, wenn man richtig damit umgeht. Letztlich befürchte ich, dass keine der Schreibweisen in der Schule richtig eingeführt wurde und es daher eh schwammig ist.

air
Joachim2 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann einer von euch eure Diskussion mal bitte verständlich zusammenfassen, weil ich finde sie eigentlich ganz interessant.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

- Ja oder Nein.

air
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun kommt es drauf an, welche Eigenschaften von Unendlich durch die Notation unterstrichen haben will.

Betrachtet man die Sache vom Standpunkt manchen mathematischen Teilgebiete, so gibt es keinen wirklichen Unterschied zwischen reellen Zahlen und unendlich und es macht Sinn zu schreiben, wie bei rellen Zahlen auch.

Auf der anderen Seite kann man Sachen wie oder im Gegensatz zu rellen Zahlen nicht einfach so rechnen, worauf man sagen kann, dass man die Schreibkonventionen nicht anpassen möchte.
Chico_Tobi Auf diesen Beitrag antworten »
Im Bezug auf Schulmathematik sollte die Antwort eindeutig +/- oo lauten!
Ist es nicht so, dass in der Schule die Aussage

"Die Folge wird größer als jede obere Schranke"

die Antwort



zur Folge hat und die Aussage

"Die Folge wird kleiner als jede untere Schranke"

die Antwort



zur Folge hat?

Insofern sollte für joachim die Antwort natürlich lauten?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Folge kann nicht größer (kleiner) als jede obere (untere) Schranke werden, denn das widerspricht der Definition einer Schranke.
Du musst also eher sagen, eine nicht-beschränkte Folge kann nicht konvergieren bzw. wie es meist ausgedrückt wird: Eine konvergente Folge ist beschränkt (der Beweis wird in Analysis I recht schnell am Anfang geführt).

Außerdem kann der "Grenzwert" (es ist ja keiner) nicht lauten, da dies nicht möglich ist.
Entweder, die Folge divergiert bestimmt gegen , bestimmt divergent gegen oder sie divergiert unbestimmt.

Unbestimmt Divergent ist z.B. die Folge

air
Joachim2 Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei uns in der Schule gabs
und
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Es ging weniger darum, was es bei euch nun konkret war, sondern viel mehr, was symbolisch sinnvoll ist. Augenzwinkern

air
Chico_Tobi Auf diesen Beitrag antworten »

@Airblader:
Boah ey, das find ich jetzt echt ganz schön spitzfindig.

Ich dachte, ich habe mit "Schule" und "für Joachim" klargemacht, dass es hier um Antworten für die Schulmathematik geht.

Wir haben die Schreibweise meines Posts, also

und

in der Schule verwendet.
Insofern sollte man Joachim das doch auch so erklären.
Was bringt ihm eine Schreibweise, die zwar korrekt im Studium oder nach geeigneter Definition ist, aber von seinem Lehrer als falsch oder unvollständig angemarkt wird? Und ich bin mir sicher, dass er Schwierigkeiten bekommt, wenn er nur hinschreibt "die Folge konvergiert nicht" oder "für alle c aus R existiert ein n aus N so dass a_n größer als C wird". Denn das WILL man in der schule nicht hören, sondern man will genau DAS hören:



Referenz hierbei: Klett Abiturbuch

Was spricht eigentlich dagegen, im Fall der bestimmten Divergenz plusminus unendlich als Grenzwert zu bezeichnen? Sicherlich fällt die Definition über Epsilon und so weiter aus, aber man kann doch einfach die Konvergenz gegen plusminus unendlich geeignet definieren, und schwupp, konvergieren alle solchen Folgen brav.

Erinnere dich zum Beispiel an die Definition des Supremums einer Teilmenge von R.
Weiß nicht, wie ihr das definiert habt, bei uns wars so:
Ein Supremum sup(M) einer Menge M ist eine Zahl aus R, die folgender Bedingung genügt:

Eindeutigkeit lässt sich zeigen, Existenz ist nicht gewährleistet.
Deswegen definiere im Fall der Nicht-Existenz sup(M) als positiv unendlich.
In diesem Zusammenhang scheint es (ebenso wie für Konvergenz) sinnvoll zu sein, einen Ausnahme-Fall mit in die Definition reinzunehmen, obwohl doch das Supremum ursprünglich aus R sein sollte.

Wenn man übrigens Konvergenz als lim inf=limp sup definiert kriegt man doch automatisch, dass auch plus minus unendlich möglicher Grenzwert ist, oder?

Zum Thema unbestimmt divergent meintest du vermutlich die Folge
,
oder habe ich dich falsch verstanden?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@ Chico_Tobi

Erst möchte ich dich, aber auch mich korrigieren. Sowohl mein als auch dein Beispiel sind stinknormal konvergente Folgen. Im Sinn hatte ich a_n = (-1)^n.

Und jetzt zurück:

Die Diskussion fand auch zwischen mir und pseudo-nym, nicht zwischen mir und dir statt. Aber wie auch immer man es nun schreibt, deine Aussagen, was die Schranken angeht, bleiben falsch.

Und zum Rest:
Ich kann mich nur zum x-ten Mal wiederholen. Es ging hier nicht um die Frage "richtig" oder "falsch", sondern darum, dass pseudo-nym einen Einwand, verbunden mit einer Frage hatte, die sich auf den Sinn einer Definition bezog und dies wollte ich erläutern.

Allerdings(!): Wenn man von einer Konvergenz gegen spricht, dann finde ich es ZWINGEND, zwei Dinge explizit definiert zu haben:
1) Unendlich wird als Grenzwert akzeptiert (und damit als Konvergenz)
2) Man muss ordentlich einführen, was man mit plusminus Unendlich meint.

Denn ob man nun Unendlich = plus Unendlich macht oder nicht, das ist egal. Aber "plusminus Unendlich" als EINEN Wert zu betrachten verlangt in meinen Augen auch in der Schule eine entsprechende Festlegung.

Also nochmal (und zwar zum allerletzten Mal): "Möglich" ist beides, und wenn man es so macht, wie definiert, ist es auch korrekt.

air
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