Unmöglichkeitsbeweis der Winkeldreiteilung

16.01.2010, 14:00	Leinad relppack	Auf diesen Beitrag antworten »
Unmöglichkeitsbeweis der Winkeldreiteilung `Grüß Gott allesamt,Entschuldigung das ich diese Frage jetzt zum 2.mal in eurem Forum poste =( ....mir ist grad erst aufgeefallen , dass dieses Thema warscheinlich besser in den Bereich der Hochschulmathematik passt! Ich bin gerade dabei die Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung sowie die des Delischen Problems(Verdoppelung eines gegebenen Würfels) möglichst einfach darzustellen. Hierfür müsste ich jedoch ein besseres Verständnis der Galoistheorie besitzen um die Konstruktionsmöglichkeiten mit Hilfe der euklidischen Mittel(Zirkel und Lineal) algebraisch ausdrücken zu können und somit die Unmöglickeiten aufzeigen zu können. Zwar könnte ich auch auf "einfachem" weg zeigen, dass der 60°Winkel nicht drei zu teilen ist, da der 20°winel nicht konstruierbar ist. Jedoch soll ich die Gemeinsamkeiten der beiden klassischen antiken Probleme der Antike( hier die beiden oben erwähnten) aufzeigen und das ist meines Wissens nur über diesen WEg möglich. Hier ein kleiner Aussschnitt mit dem ich Probleme habe... wie kann ich die von mir aus einem Artikel des Spekrum der WIssenschaft rauskopierten Formeln und INhalte herleiten und erklären: Jede solche Konstruktion kann man durch Koordinaten darstellen; jeder Schritt entspricht der Berechnung einer Reihe von Zahlen - der Koordinaten des neu konstruierten Punktes. Diese hängen mit den bereits bekannten über Gleichungen ersten oder zweiten Grades zusammen (ersten Grades für den Schnittpunkt zweier Geraden, zweiten Grades, wenn ein Kreis beteiligt ist). Das bedeutet, dass der "Grad" eines jeden konstruierten Punktes (der kleinste Grad einer Gleichung, deren Lösung er ist); eine Zweierpotenz ist. Dies ist die einfachste Invariante für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal; sie reicht bereits aus, um die Unmöglichkeit der Lösung der drei angegebenen Probleme zu beweisen. Den Würfel zu verdoppeln bedeutet, die Lösung der Gleichung x^3 - 2 = 0 zu konstruieren, aber das ist eine Gleichung dritten Grades. Da 3 keine Potenz von 2 ist, kann die Verdopplung des Würfels allein mit Zirkel und Lineal nicht gelingen. Auch die Dreiteilung des Winkels ist äquivalent zur Lösung einer Gleichung dritten Grades. Das folgt aus der Formel cos 3x = 4(cos x)^3 - 3 cos x. Also lässt sich auch dieses Problem nicht lösen. Danke im Voraus......MFG Daniel
16.01.2010, 14:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Galoistheorie ist der richtige Weg, billiger geht's nicht. Gut dargestellt z.B. in "Siegfried Bosch, Algebra, Springer Verlag" .
16.01.2010, 14:21	Leinad relppack	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen danke für die schnelle Antwort.... Das Problem ist das die Galoistheorie ein sehr umfangreiches Themengebiet ist......Der reiz ist da diese zu verstehen (bzw. annähernd) nur die Zeit nicht =) bin zur zeit noch in der 12. Klasse und schreibe eine 2seitige Erklärung bezüglich der Unmöglichkeit und dem Zusammenhang der beiden Probleme..... Ich hatte micht auch etwas ungenau ausgedrückt [ mein fehler ] Jetzt ist das Problem: die Begründung für die Unmöglihckeit beider Probleme wird ja im Normalfall durch die Galoistheorie beschrieben.....in allen Büchern die diese Probleme behalndeln werden ( natürlich ) Grundlagen der Galoistheorie vorrausgesetzt... Ich stell mir nur die Frag ob : 1) Der Grad eines mit euklidischen Punktes wirklich nur eine 2er Potenz sein kann 2) "Da 3 keine Potenz von 2 ist, kann die Verdopplung des Würfels allein mit Zirkel und Lineal nicht gelingen": ist mit diesem Auschnitt gemeint dass beispielsweiße der Grad =4 wieder konstruibar wär, da man daraus die Wurzel ziehen könnte.... 3) Punkt P(cos ²/ sin ²) Es gilt jedoch: cos(3 ²) = 4 cos³ ² - 3 cos ² sin(3 ²) = 3 sin ² - 4 sin³ ² Setzt man nun cos ² = x und cos(3 ²)= a, dann ist die Gleichung 4x³ – 3x = a wie kann man dieser herleiten? über die "Additionstheoreme"? Würde mich über Antworten freuen...."ein zu weites Feld" für mich
16.01.2010, 14:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Definition. Sei $\begin{eqnarray} K(M) \end{eqnarray}$ die Menge aller mit Zirkel und Lineal aus $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ konstruierbaren Punkte in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , Voraussetzung $\begin{eqnarray} 0,1\in M \end{eqnarray}$ Bemerkung. Mit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ ist immer auch $\begin{eqnarray} \overline M \end{eqnarray}$ konstruierbar Satz. Sei $\begin{eqnarray} M\subset \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0,1\in M \end{eqnarray}$ , und sei $\begin{eqnarray} z\in\mathbb C \end{eqnarray}$ . Dann ist äquivalent: (i) $\begin{eqnarray} z\in K(M) \end{eqnarray}$ (ii) Es existiert eine Körperkette $\begin{eqnarray} \mathbb Q(M\cup\overline M)\subset L_0\subset L_1\subset ... \subset L_n\subset \mathbb C \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z\in L_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [L_i:L_{i-1}]=2 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1,...,n \end{eqnarray}$ . (iii) $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ ist enthalten in einer Galois-Erweiterung $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q(M\cup \overline M) \end{eqnarray}$ , deren Grad $\begin{eqnarray} [L:\mathbb Q(M\cup\overline M)] \end{eqnarray}$ eine Potenz von 2 ist. Korollar. Der Grad eines jeden Elements $\begin{eqnarray} z\in K(M) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb Q(M\cup\overline M) \end{eqnarray}$ ist eine Potenz von 2. SO IST ES (nach Bosch)
16.01.2010, 14:47	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Beweise, dass die klassischen Probleme der Würfelverdoppelung und der Winkeldreiteilung (das letztere im allgemeinen) nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen sind, erfordern noch nicht den vollen Umfang der Galois-Theorie. In dem Buch Johann Cigler Körper, Ringe, Gleichungen sind die beiden Probleme quasi als Einleitung auf den ersten 16 Seiten abgehandelt. Diese 16 Seiten sollten auch für einen Schüler nachvollziehbar sein. Aber man muss sich schon intensiv damit beschäftigen.
16.01.2010, 15:04	Leinad relppack	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch....bin jetzt schon ein bißchen weiter gekommen.....wobei ich mit elvis' definition noch nicht soviiiel anfangen kann liegt aber an mir ...vielleich in paar jährchen P.S. "geiles" Forum....
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