DGLs 2. Ordnung - homogene Lsg.

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Moartel Auf diesen Beitrag antworten »
DGLs 2. Ordnung - homogene Lsg.
Wir machen gerade in HMII DGLs zweiter Ordnung, ist eigentlich alles ganz verständlich und nicht zu schwer. Mich stört nur eines: Wenn ich die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmt habe, bekomme ich was raus wie

.

Das schreiben wir dann um in:
.

Leider weiß ich nicht woher diese "Formel" kommt. Würde mich aber ziemlich interessieren.
Danke schonmal für eure Antworten.
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du denn jetzt genau wissen?
Wie man die DGL

löst?
Oder nur mit konstanten Koeffizienten?
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht mir so aus, als wäre da einfach

worden. Kennst du diesen Zusammenhang? Oder meinst du eine ganz andere Umformung?
HarryDone Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGLs 2. Ordnung - homogene Lsg.
Mit deinen gefundenen Nullstellen bekommt man eine komplementäre Lösung der DGL, wobei A und B die Konstanten von dem Doppelintegral darstellen:






Die Konstanten werden nur noch zu C1 und C2 umbenannt.

Ich hoffe, du wolltest das überhaupt wissen.
Moartel Auf diesen Beitrag antworten »

Habe leider festgestellt, dass ich einen "kleinen" Fehler in meinem Anfangsposting hatte. Korrekt müsste es heißen:
. In cos und sin ist kein i drin.

Philipp-ER:
Ich habe zuerst auch gedacht, dass das mit dieser Formel geht, hat allerdings (bei mir?) nicht funktioniert.

HarryDone:
Ich wollte genau das wissen smile .
Allerdings ist bei uns kein i vor dem Sinus. Das stört mich schon ein wenig. Kann es sein, dass die das in die Konstante mit reingepackt haben (ich weiß, klingt doof)?

Ich habe jetzt nochmal genauer nachgeschaut und folgende (für mich widersprüchliche Aussagen) gefunden:
Übungsmitschrieb:
Komplexe Nullstelle:

HMI-Skript:


Mit den Formeln aus dem Skript und den Aussagen aus der Übung heißt das für mich, dass ich
habe und das ganze nochmal mit a-ib und Re exp(zx) für die andere Nullstelle. Das würde an sich ja noch Sinn machen, wenn ich sage Re(zx) + Im(zx) = zx. Allerdings fehlt mir da das Plus/Minus.
Kann mir das wer erklären, oder befinde ich mich vielleicht auf der völlig falschen Fährte?
HarryDone Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das i ist in den neuen Konstanten mit beinhaltetend, ich hätte das genauer sagen müssen. Nur da das i (sqrt(-1)) eine Konstante ist, habe ich das nicht mehr zusätzlich erwähnt.

Um zu verstehen, weshalb man Puls/Minus schreibt ist es am einfachsten folgende Gleichung auszuklammern:

(a+i*b)*(a-i*b)=a^2 - i^2*b^2=a^2+b^2,
da man hier quadriert,bzw. eigentlich rechnet man ja umgekehrt und radiziert,muss man, wenn man eine Wurzel zieht ja sowohl positive als auch negative Werte angeben.
Also ist die Nullstelle von a^2+b^2=+/- a +/- i*b, wenn man nun beachtet, dass mit der von Philipp-ER erwänten Verbindung der Realteil, also a, als Kosinus dargestellt wird, kann der Zusammenhang
cos(-a)=cos(a) verwendet werden, also gilt für die Nullstelle:
a +/- i*b

Du musst auch darauf achten,dass du momentan in deinem Mitschrieb keine Integrationskonstanten mit einbeziehst,bzw. beide sind 1. Ich würde also noch einmal gucken,ob ihr das gleich mit Konstanten habt, denn mit Konstanten entstehen Verschiebungen in den trigonometrischen Thermen.
 
 
Moartel Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, so weit ist mir das alles klar. Ich habe nur immer noch ein kleines Problem mit dem i vor dem Sinus. Bei uns wurde immer gesagt, dass die beiden Konstanten reell sind. Wie passt dann da das i rein?
Harry Done Auf diesen Beitrag antworten »

Die Klammer (A+B) ist immer real, die Klammer (A-B) hingegen ist stets komplex.
Du kannst deine erste Lösung, also die mit
y=A*exp(a+i*b)x+B*exp(a-i*b)x,
in die gegebene DGL einsetzten (Ich nehme einfach y''(x)+k1*y'(x)+k2*y(x)=0 an)
Das heißt deine Lösung y(x) setzt du mit den jeweiligen Ableitungen in die DGL ein,anschließend setzt du x=0 da die Summe ja immer Null ergeben muss,kann man beliebige Werte für x wählen.Somit verschwinden die Exponentialausdrücke und ich habe dann nach (A+B) und (A-B) ausgeklammert und mir die Eigenschaften der entstandenen Koeffizienten verglichen. Dabei stellte sich heraus,dass bei jedem
(A-B) der Faktor i im Koeffizienten stand,die geamte Gleichung ist also komplex. Wenn man nun für die einzelnen Klammern
(A+B)=C1 , (A-B)=C2/ i =-i*C1 einsetzt, kürzen sich alle i weg und die Gleichung hat nur noch reele Koeffiziente.
Moartel Auf diesen Beitrag antworten »

Versteh das nicht falsch, aber ich finds amüsant, dass du genau die gleiche Methode vorschlägst, die mir zuerst auch eingefallen ist, einfach C2/i und das i ist weg smile . Kommt mir aber ein wenig zu sehr hingebogen vor.
Ich werde nächste Woche mal meinen Dozenten aufsuchen und ihn fragen wie er das alles sieht. In den Anwendung haben wir nämlich die Konstanten immer mit Anfangswerten bestimmt und da haben wir nie irgendwas hingebogen um ein i loszuwerden, da ist nie eins aufgetaucht.
Trotzdem Danke für dein Bemühen, aber da an dem Punkt zur Zeit auch andere stecken, die sich mit dem Problem befassen wirds für mich Zeit für klare Informationen aus erster Hand.
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