Eigenschaften stetiger Funktionen

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Demon153 Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften stetiger Funktionen
Ich muss schon wieder mal Beratung einholen, weil ich keinen Plan habe.
Meine Aufgabe:
Die Funktion sei stetig an der Stelle a und es sei .
i) Zeige, dass f dann auch in einer Umgebung von a verschieden von Null ist, also es gibt ein , so dass für alle .
ii) gilt i) auch ohne die Annahme der Stetigkeit bei a?
iii) gilt i) auch für stetige komplexwertige Funktionen?

So ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung, hab auch schon stundenlang im Web gesucht, aber nichts brauchbares gefunden und mit dem Begriff Umgebung komm ich auch noch nich so klar, obwohl das eig. ganz gut erklärt wurde, versteh ich einfach nich.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Umgebung ist eine Menge welche eine offene Menge enthät, sodass gilt


Was i) angeht könntest du ja mal die Steigkeitsdefinition von f in 0 betrachten und für epsilon einsetzen
Demon153 Auf diesen Beitrag antworten »

Da f stetig ist gilt doch:
.
so soll ich hier etwa einsetzen?
oder was muss ich jetz machen??????
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ersetzt mit und schau dir an was mit den betrachteten in Bezug auf die gilt.
Demon153 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pseudo-nym
Ja, ersetzt mit und schau dir an was mit den betrachteten in Bezug auf die gilt.


auf die ??? gilt?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das war kein so toller Satz, also nochmal.

Ja, ersetz' mit und schau dir an, was für die betrachteten in Bezug auf die Aufgabenstellung gilt.
 
 
Demon153 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das jetz einsetze, kann man das wie folgt umformen:



so das klingt jetz aber blöd, oder zumindest kann ich nichts damit anfangen, also hab ich sicherlich was falsch gemacht. da ich ja den Betrag auflösen will, hätte man ja z. b. vorher quadrieren können, dann würde man auf folgendes Ergebnis kommen:



wie löse ich das denn auf?

es wird nich leichter, zum kotzen! Kannst mir noch n bissel aushelfen?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich's mir genau überlege ist es vielleicht schöner wenn man benutzt.
Also wenn du einsetzt erhälst du


kann in diesem Fall Null werden?
Demon153 Auf diesen Beitrag antworten »

ahh, nein, denn dadurch ergibt sich ja ein widerspruch:


also:


und das würde nur gelten, wenn f(a)=0 wäre, richtig?

Edit: Moment, für f(a)=0 gilt das ebenfalls nicht, denn ist allgemein ein Widerspruch.

So lieg ich jetz damit richtig, oder muss man dann noch was machen?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, denn wenn (was für die Aufgabenstellung nicht relevant ist), dann wäre was auch falsch ist.
Demon153 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab doch meinen beitrag editiert, also es ist ein widerspruch das f(a)<f(a), richtig?
Jetzt wollte ich noch wissen ob das für die allgemeine betrachtung reicht oder muss ich jetz noch was machen?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, hast du die Umgebung gefunden, die in der Aufgabenstellung gesucht ist?
Demon153 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach man muss die bestimmen?
Dumme Frage, wie macht man das? verwirrt
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften stetiger Funktionen
Zitat:
Original von Demon153
i) Zeige, dass f dann auch in einer Umgebung von a verschieden von Null ist[...]


Das heißt nichts anderes als: "Zeige, dass es eine Umgebung von a gibt, in der f ungleich Null ist."

Tip: Du kannst du Umgebung als Intervall angeben.
Demon153 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften stetiger Funktionen
Ich hab immer noch keine ahnung, wie ich das jetz machen soll....
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »


hast du doch schon rausgefunden.

Betrachte das Intervall
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
Ich habe die selbe Aufgabe wie der Threadersteller, nur komm ich jetzt zum Ende nichtmehr mit. Wie hilft mir das denn jetzt, wenn ich das Intervall betrachte?

Sry falls ich mich einfach nur zu blöde anstelle...
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Na was gilt denn in diesem Intervall für ?
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

wie ist das jetzt gemeint?
ist damit jetzt gemeint, dass f(x) nicht null werden kann?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

die Elemente von sind genau die für die gilt

Also gilt auch
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist damit die erste Aufgabe erledigt? oder muss man da jetzt nochwas zeigen?

Sry, dass ich so doof frage, aber ich blick da im Moment nicht so ganz durch.

Und zu ii) ich nehme an, dass i) nicht gilt ohne die Annahme der Stetigkeit, kann ich das bewiesen in dem ich sage, dass sonst die Ausgangskriterien, von denen hier ausgegangen wurde nicht mehr gültig sind, und man deshalb das alles ohne die Annahme der Stetigkeit nicht zeigen könnte?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von GastAnalysis
Also ist damit die erste Aufgabe erledigt? oder muss man da jetzt nochwas zeigen?

Ob die Aufgabe erledigt ist hängt davon ab ob du mittlerweile eine Umgebung von a angeben kannst, die die in i) geforderten Kriterien erfüllt. Kannst du?

Zitat:
Original von GastAnalysis
Und zu ii) ich nehme an, dass i) nicht gilt ohne die Annahme der Stetigkeit, kann ich das bewiesen in dem ich sage, dass sonst die Ausgangskriterien, von denen hier ausgegangen wurde nicht mehr gültig sind, und man deshalb das alles ohne die Annahme der Stetigkeit nicht zeigen könnte?


Da ist kein Widerspruch. Es könnte ja durchaus sein, dass es die Stetigkeit nicht braucht.

Vesuche ein Gegenbeispiel zu konstruieren.
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich dachte wäre meine Umgebung...

zu ii) ok mach ich.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

ja, dann bist du mit i) fertig
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

hmm das Gegenbeispiel is nicht so leicht wie ich gedacht habe...

ich weiß nicht in welcher Form ich ein solches Gegenbeispiel gesllaten soll.
Ist es möglich über die Unstetigkeit in a zu behaupten, dass auch f(a) gleich null werden kann und deshalb auch f(x) gleich nulll werden kann?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Für jede stetige Abbildung gilt: Ist so gibt es eine offene Menge sodass für alle gilt:

Das ist die Aussage die du falsifizieren willst. Bilde davon mal die Verneinung.
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal für die ganzen Mühen(nicht das ich es nachher vergesse!)

kann ich es so sagen:

für unstetige Abbildungen gibt es keine offene Menge sodass, nichtmehr für alle gilt:

oder eher so:

für unstetige Abbildungen gilt: ist gibt es keine offene Menge , sodass die Behauptung: für gilt: nicht mehr gültig ist.

oder hab ich das jetzt komplett falsch verstanden?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

ah, sry die Aussage die ich gepostet habe zu falsifizieren wird schwer, denn wir haben in i) gezeigt dass die stimmt. Die Stetigkeit muss weg.

Für jede Abbildung gilt: Ist so gibt es eine offene Menge sodass für alle gilt:

An deinen Versuchen sieht man, dass du Schwierigkeiten beim Verneinen hast, deswegen übersetze die Aussage erstmal in eine Quantorenkette verneine sie dort und übersetze sie dann wieder in einen deutschen Satz.
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

also doch ganz verneinen,
gut also meine Quantorenkette sieht so aus:



Die Verneinung in einem deutschen Satz:

Es gibt eine Abbildung mit existieren offene Menge sodass es ein b gibt, für dass gilt:

so etwa?
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

das letzte sollte natürlich heißen:


Es gibt eine Abbildung mit für die eine offene Menge existiert, sodass es ein gibt, für dass gilt:
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

nicht ganz. Die Eigenschaft ist Vorraussetzung. Die darf sich nicht ändern

Es gibt eine Abbildung mit offenen Mengen sodass es ein b gibt, für dass gilt:

Edit: Und es muss für alle offenen Mengen gelten.
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

aber das b ist immernoch in U, nicht wahr?

und das bestätigt nun meine vermutung für ii) richtig?

Ich danke dir nochmals für deine großen Mühen!
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Das b ist in U, aber die Tatsache, dass du die Aussage gebildet hast heißt garnichts. Sie könnte ja falsch sein.
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

hmm das is ja doof, und wie beweist man eine so gebildete Aussage am besten?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pseudo-nym
Vesuche ein [...] Beispiel zu konstruieren.
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

ok, ansich würde ich es ja jetzt so versuchen wie oben, nur da die stetigkeit nicht mehr vorausgesetzt ist, gilt ja auch die Stetigkeitsdefinition nicht mehr.

d.h. ich muss mir jetzt selber was ausdenken, dass diese von uns aufgestellte Behauptung belegt? aber was kann ich als vorausgesetzt betrachten oder worauf kann ich den Beweis stützen?

mir fehlt da grad die Idee für einen Ansatz... unglücklich
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Funktion zu basteln die bei a nicht Null ist und in jeder Umgebung von a Nullstellen hat sollte doch nicht so schwer sein.
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

also das einzige was mir nun einfällt wäre:



wäre sowas zulässig?
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

klar und damit ist die Aufgabe auch schon beendet.
GastAnalysis Auf diesen Beitrag antworten »

hehe cool^^

dann danke ich nochmal recht herzlich für die Geduld mit mir! Freude Gott
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