Matrix bezüglich Basen bestimmen

16.01.2010, 19:05

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Matrix bezüglich Basen bestimmen

Hallo, bräuchte Hilfe bei einer Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \alpha \in Hom_\mathbb{R} (\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2) \end{eqnarray*}$ sei bezüglich der kanonischen Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 und \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gegeben durch die Matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Ferner seien $\begin{eqnarray*} B= \left\{v_1=(-1,2,3)^T,v_2=(-1,0,1)^T,v_3=(2,3,2)^T\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B'= \left\{w_1=(1,2)^T,w_2=(0,3)^T\right\} \end{eqnarray*}$ Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Man bestimme die Matrix zu $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bezüglich B' und B; ferner bestimme man $\begin{eqnarray*} \alpha\left((1,1,1)^T\right)_{B'} \end{eqnarray*}$ .

Wäre echt super, wenn man mir sagen könnte, was ich da machen soll und nach welchem Verfahren. Versteh ich das richtig, dass A meine Abbildungsmatrix ist und ich jetzt einen Basiswechsel vornehmen muss? Wenn ja, wie? Sorry, aber ich blicke da einfach nicht durch unglücklich

unglücklich

(oder vielleicht seh ich auch nur den Wald vor lauter Bäumen nicht), wäre deshalb für Hilfe sehr dankbar!

16.01.2010, 22:53

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Lesestoff
Das Grundkonzept.

[Artikel] Basiswechsel

17.01.2010, 12:32

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die Antwort, hab mir schon fast gedacht, dass es nach dem Konzept gemacht werden muss, doch irgendwie kann ich es bei meiner Aufgabe nicht anwenden... traurig

traurig

B' ist doch eine Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und B Basis vom $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ . Die kann ich doch gar nicht als Linearkombination voneinander angeben. verwirrt

verwirrt

Oder muss ich dafür die kanonischen Basen nehmen?
Also so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\\end{pmatrix} = 1\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\\end{pmatrix} - \frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\\end{pmatrix} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\\end{pmatrix} + \frac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bezüglich B' wäre dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und für B dann genauso??

17.01.2010, 12:37

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Die eine ist Basis vom Urbildraum, die andere vom Bildraum. Du hast die Abbildugn bzgl. der Kanonischen Basen E3 und E2 gegeben- Da sieht die Matrix so aus.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\\end{pmatrix}_{E3}^{E2} \end{eqnarray*}$

Nun suchen wir

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \\\end{pmatrix}_{B}^{B'} \end{eqnarray*}$

Das geht nach dem Schema.

17.01.2010, 13:08

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie bin ich dafür glaub ich zu blöd...
In dem Schema klingt das ja alles ganz logisch aber da geht man ja stets vom R^3 in den R^3 aber ich hab R^3 und R^2...

17.01.2010, 13:10

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

So what? Versuch es doch mal.

Anzeige

17.01.2010, 13:16

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß ja leider nicht wie...In dem Beispiel hat man ja wenigstens noch die Linearkombinationsgleichungen für (w1,w2,w3) gegeben aber sowas gibts in meiner Aufgabe ja gar nicht... Da hab ich ja nur die zwei Basen und die Matrix A, mit der ich immer noch nicht weiß, was ich mit ihr machen soll.

17.01.2010, 13:17

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde es nicht vorrechnen. Deine Basen B und B' sind als LK der Basen E3 und E2 gegeben. Benutze das doch.

17.01.2010, 13:35

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Möchte ja auch gar nichts vorgerechnet bekommen!
Mir fällt es einfach schwer den Bezug zwischen dem Beispiel und meiner Aufgabe zu finden, da sie für mich wie zwei völlig verschiedene Aufgaben wirken.
Ich schaue gerade nochmal in meinen Unterlagen, ob ich nicht irgendwo noch ein anderes Beispiel habe, was ähnlicher zu meiner Aufgabe ist.

17.01.2010, 13:37

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Boardsuche zu dem Thema mal benutzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.01.2010, 14:16

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Also irgendwie verwirrt mich die Aufgabe immer mehr, je mehr ich zu dem Thema lese...Nun gut...
Hätte noch eine allgemeine Frage bezüglich des ^T bei den Basisvektoren. Dass das T für transponiert steht, weiß ich und auch, dass dadurch Zeilen und Spalten vertauscht werden. So...den Vektor $\begin{eqnarray*} \left(-1,2,3\right) \end{eqnarray*}$ kann man ja auch so $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schreiben. Ist das dann schon transponiert oder ist dies hier: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & 3 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ der transponierte Vektor?

17.01.2010, 14:27

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe echt nicht, was hier so schwer ist. Du hast die Basis (Spaltenvektoren). Aus Platzgründen schreibt man halt in Zeilen mit ^T.

$\begin{eqnarray*} E3= \left\{e_1=(1,0,0)^T,e_2=(0,1,0)^T,e_3=(0,0,1)^T\right\} \end{eqnarray*}$

Daraus soll werden

$\begin{eqnarray*} B= \left\{v_1=(-1,2,3)^T,v_2=(-1,0,1)^T,v_3=(2,3,2)^T\right\} \end{eqnarray*}$

Welche Matrix macht das? Kann man hier doch direkt ablesen. B steht doch schon in Koordinaten von E3 da.

$\begin{eqnarray*} E3 \to B:~\begin{pmatrix}-1&-1&2 \\ 2& 0 & 3 \\ 3 & 1 &2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

D.h. Vektor in Koordinaten von E3 rein, bekommt man den gleichen Vektor aber in Koordinaten von B.

17.01.2010, 14:45

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, mit dem ^T hab ich halt zu kompliziert gedacht. Mir ist klar,dass man aus Platzgründen die Vektoren in Zeilen und nicht in Spalten schreibt, nur sonst haben wir nie ein ^T dazu angegeben. Es war bei uns einfach klar, was gemeint war. Deswegen hat mich jetzt das ^T verwirrt, weil wenn ich die Zeilenschreibweise verwende und dann transponiere kommt ja was anderes raus als wenn ich die Spaltenschreibweise transponiere. Ich denk halt immer zu kompliziert Hammer

Hammer

Zur Aufgabe: Also einfach nur ablesen?
$\begin{eqnarray*} E2->B' \end{eqnarray*}$ wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 &\\2 & 3\\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.01.2010, 15:17

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

ja.

17.01.2010, 15:28

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, erstmal vielen Dank für die Geduld, irgendwie liegt mir das Thema wohl nicht besonders.
Auch auf die Gefahr hin, mich jetzt lächerlich zu machen: ich muss doch jetzt noch $\begin{eqnarray*} B'\to B \end{eqnarray*}$ finden, oder?

17.01.2010, 15:33

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Folge doch einfach dem Diagramm. Abbildungsmatrix mit Basiswechsel

Deine gesuchte Matrix = Vektor bzgl. B umrechnn in E3 Matrix A umrechnen von E2 nach B'

17.01.2010, 15:58

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz hab ich das glaub ich nich verstanden.

Also ich hab jetzt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 7 \\\end{pmatrix} = 6\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\\end{pmatrix}-\frac{5}{3} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Das jetzt noch mit den restlichen Vektoren und dann kann ich die Matrix ablesen?

17.01.2010, 16:22

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst erst die MAtrix invertieren (Basiswechsel)

17.01.2010, 16:36

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Ähm, aber eine Matrix kann man doch nur invertieren, wenn sie quadratisch ist, oder? verwirrt

verwirrt

17.01.2010, 17:07

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Die beiden Matrizen der Basiswechsel sind auch quadratisch.

17.01.2010, 17:19

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, also invertiere ich die beiden Matrizen $\begin{eqnarray*} E3\to B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E2\to B' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E3\to B \end{eqnarray*}$ wäre invertiert dann: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & 2 & -\frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} & -4 & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Jetzt $\begin{eqnarray*} E2\to B' \end{eqnarray*}$ invertieren und was dann?

17.01.2010, 17:22

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Mensch, lies doch endlich, was ich schreibe. Tränen

Tränen

Zitat:

Deine gesuchte Matrix = Vektor bzgl. B umrechnen in E3 Matrix A umrechnen von E2 nach B'

1. Invertiere die 3x3 Matrix wegen B -> E3 (rechts)
2. Schreibe deine Matrix hin (mitte)
3. 2x2 Matrix E2 -> B' steht auf Seite 1 dieses Threads

Fertig.

17.01.2010, 17:32

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich geb's auf, ich versteh einfach nicht, was ich machen soll... Tränen

Tränen

17.01.2010, 17:34

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach doch einfach, was man dir sagt. Du wirst mir doch wohl noch das Produkt von 3 Matrizen hinschreiben können...

17.01.2010, 17:48

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, letzer Versuch...

Also ich soll das Produkt von

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3\\\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} -\frac{3}{2} & 2 & -\frac{3}{2} \\ \frac{5}{2} & -4 & \frac{7}{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ausrechnen?

17.01.2010, 18:22

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast mich jetzt echt schwindelig gefragt. Ich rekapituliere.

Zitat:

Original von Vanylar

$\begin{eqnarray*} \alpha \in Hom_\mathbb{R} (\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2) \end{eqnarray*}$ sei bebzgl. der kanonischen Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gegeben durch die Matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ferner seien $\begin{eqnarray*} B= \left\{v_1=(-1,2,3)^T,v_2=(-1,0,1)^T,v_3=(2,3,2)^T\right\} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} B'= \left\{w_1=(1,2)^T,w_2=(0,3)^T\right\} \end{eqnarray*}$ Basen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

Man bestimme die Matrix zu $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bezüglich B' und B

D.h.

$\begin{eqnarray*} v_1=-1e_1+2e_2+3e_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=-1e_1+0e_2+1e_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_3=+2e_1+3e_2+2e_3 \end{eqnarray*}$

Es ist dann

$\begin{eqnarray*} S = \begin{pmatrix} -1&2&3 \\ -1&0&1 \\ 2&3&2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -1&-1&2 \\ 2&0&3 \\ 3&1&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was stellt S dar? Man gibt einen Vektor bzgl. B ein. v1 hat ja dann die Koordinaten

$\begin{eqnarray*} v_1=(1,0,0)^T_B = (-1,2,3)^T_{E3} \end{eqnarray*}$

D.h. Vektor bzgl. B rein, Vektor bzgl. E3 raus. Das habe ich im Laufe des Threads falsch gesagt und dich deswegen auch aufgefordert, die falsche Matrix zu invertieren. Entschuldigung. Analoges gilt für E2 und B'.

$\begin{eqnarray*} T=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann kommt das Diagramm. Alles mit "1" ist sind bei dir die E3, E2 und mit "2" alles mit B, B'. Gesucht ist also M2.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11:	in. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2

Der Weg ist dann

M2=T^{-1}*M1*S

Das musst du nun berechnen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.01.2010, 18:53

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Gott

Vielen Dank, dein letzer Post hat mir echt weitergeholfen bei dem Thema endlich ein wenig besser durchzublicken (mir liegt es halt nicht so und alles hab ich auch noch nicht verstanden, werd mich gleich noch weiter damit beschäftigen). Was ich nun machen soll, hab ich auch verstanden. Sorry wegen der vielen Fragen, aber hier wird einem wenigstens weitergeholfen, ich habe leider das Pech in einer Übungsgruppe gelandet zu sein, in der der Übungsleiter selber die Aufgaben oft nicht kann. So bleibt man dann mit den Aufgaben und Fragen oft alleine und versucht sich so gut wie's geht durchzuwurschteln. Nur wenn's dann auch noch ein Thema ist, bei dem man selber nicht besonders gut durchblickt....

Kannst du mir noch schnell einen Tipp zum zweiten Teil der Aufgabe geben? Multiplizier ich da einfach A mit dem Vektor und stelle dann damit die Matrix bezüglich B' auf?

17.01.2010, 19:00

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne erstmal die Matrix 2 aus.

17.01.2010, 19:24

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Also für M2 hab ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 & 0 & 10 \\ -\frac{5}{3} & 1 & -6 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ raus.

17.01.2010, 19:30

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:

ür eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 3
Dimension von W: m= 2
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [-1,2,3]
Vektor 2: [-1,0,1]
Vektor 3: [2,3,2]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,2]
Vektor 2: [0,3]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2 gegeben? 1
 
M = [1,2,1;-1,0,2]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
    -1    -1     2
     2     0     3
     3     1     2
M1 =
     1     2     1
    -1     0     2
TI =
    1.0000         0
   -0.6667    0.3333
M2 =
    6.0000         0   10.0000
   -1.6667    1.0000   -6.0000

Freude

17.01.2010, 19:43

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Man, das war vielleicht ne Geburt Big Laugh

Big Laugh

Ich traue mich gar nicht zu fragen, was ich jetzt noch beim letzten Teil der Aufgabe machen muss, also bestimmen von $\begin{eqnarray*} \alpha\left(\left(1,1,1\right)^T\right)_{B'} \end{eqnarray*}$

17.01.2010, 19:45

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Vektor ist wohl bzgl. E3 gegeben. Und nun soll sein Bild berechnet werden und bzgl. B' dargestellt werden. Schau das Diagramm an und suche einen Weg, den du gehen möchtest.

17.01.2010, 20:02

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das Diagramm ist mir zwar noch nicht so ganz klar aber ich versuch's trotzdem mal:

also ich will von E3 nach B'. Also suche ich S?

17.01.2010, 20:04

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13:	Lin. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2

Du kennst alles schon in dem Diagramm. Dein Vektor hat Koordinaten von B1 in V. Du willst B2 in W. Also, wie kommst du da hin??

17.01.2010, 20:09

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

M1 multipliziert mit dem Vektor und dann multipliert mit T würde ich jetzt sagen.

17.01.2010, 20:10

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Nee sorry, das ist Quatsch...

17.01.2010, 20:10

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, denn T zeigt ja in die falsche Richtung.

17.01.2010, 20:21

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Neuer Versuch: M2 mal S^-1

17.01.2010, 20:30

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Jo.

17.01.2010, 20:39

Vanylar

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das wär dann die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ -1 & -\frac{4}{3} & 0 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Und wie bring ich jetzt noch meinen Vektor (1,1,1) da mit rein? Einfach die Matrix mit ihm multiplizieren?

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »