Problem mit vollst. Induktion

13.10.2006, 21:38

Splieth

Problem mit vollst. Induktion

Hallo alle zusammen!

Mit Hilfe der vollständigen Induktion möchte ich beweisen (oder widerlegen Augenzwinkern

), dass die Aussage A(n)
$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N : ( n - 1 )^2 + n + 40 \end{eqnarray*}$
auch für A(n+1) gilt...
Den Induktionsanfang habe ich mit n=1 durchgerechnet, ist ja auch alles wunderbar. Die Induktionsvorraussetztung ist ja halt A(n+1) = A(n)
Die Gleichung hab ich nun nach und nach aufgelöst, aber nun häng ich an einer Stelle irgendwie fest:
$\begin{eqnarray*} 1 + ( n + 1 ) = -3n \end{eqnarray*}$
So weit so gut... Aber nun? Ok, ich hatte schon daran gedacht, aus den -3n einfach -3(n+1) zu machen, aber ich weiss a.) nicht so wirklich, ob ich das darf Augenzwinkern

und b.) wie ich dann weiterkommen soll bzw. ob's dann wirklich das Ende ist:

$\begin{eqnarray*} 1 + ( n + 1 ) = -3( n + 1 ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( n + 1 ) = -3n - 4 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, jemand holt mich von dem Schlauch runter... Augenzwinkern

Über einen Tipp wäre ich jedenfalls sehr dankbar!

13.10.2006, 21:40

Dual Space

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RE: Problem mit vollst. Induktion

Zitat:

Original von Splieth
Mit Hilfe der vollständigen Induktion möchte ich beweisen (oder widerlegen Augenzwinkern

), dass die Aussage A(n)
$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N : ( n - 1 )^2 + n + 40 \end{eqnarray*}$
auch für A(n+1) gilt...

Bei der Aussage fehlt noch die Behauptung (irgend ein Relationszeichen vermute ich mal)!

13.10.2006, 21:40

sqrt(2)

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RE: Problem mit vollst. Induktion

Zitat:

Original von Splieth
$\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N : ( n - 1 )^2 + n + 40 \end{eqnarray*}$

Für alle roten Äpfel sind Bäume.

13.10.2006, 22:13

Splieth

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Na klar... Ups.
$\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N : ( n - 1 )^2 + n + 40 \end{eqnarray*}$ ist eine Primzahl

13.10.2006, 22:23

sqrt4

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Hast du die vollständige Induktion erst durchgenommen??

Hört sich zumindest nicht so an als ob du es verstanden hast..

13.10.2006, 22:32

Splieth

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Ja, gerade donnerstag angefangen... Was hätte ich denn anders machen sollen? Big Laugh

13.10.2006, 22:35

Splieth

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Naja, der Prof hat es kurz angeschnitten, durch genommen würde ich dazu nicht sagen... Was hätte ich denn anders machen müssen?

13.10.2006, 22:40

sqrt4

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Ich kann deine Rechnung nicht ganz nachvollziehen.

Also. für n=1 ist die Sache klar denn 41 ist eine Primzahl.

I.V. es ist $\begin{eqnarray*} (n-1)^2+n+40 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl für mindestens ein n

IS. Nun soll man zeigen, falls $\begin{eqnarray*} (n-1)^2+n+40 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist , dann auch $\begin{eqnarray*} ((n+1)-1)^2+(n+1)+40 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ((n+1)-1)^2+(n+1)+40=(n-1)^2+n+40+2n \end{eqnarray*}$
Jetzt könnte man die Iv anwenden und sagen dass $\begin{eqnarray*} (n-1)^2+n+40 \end{eqnarray*}$ eine Primzahl ist

Leider muss ich jetzt passen, ich weiß nicht warum beim addieren von 2n wieder eine Primzahl rauskommen soll.

13.10.2006, 22:45

sqrt(2)

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Du kannst das nicht beweisen, denn es ist falsch.

$\begin{eqnarray*} (41-1)^2+41+40=40^2+41+40=(40+1)\cdot40+41=41\cdot41 \end{eqnarray*}$

13.10.2006, 22:49

Splieth

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Naja, das man das für n+1 auch noch beweisen soll ist mir schon klar.
Ich hab es so gemacht, dass ich

$\begin{eqnarray*} ( ( n + 1) -1 )^2 + ( n + 1 ) + 40 = ( n - 1 )^2 + n + 40 \end{eqnarray*}$

gesetzt habe. Von da aus bin ich dann druch umformen bei

$\begin{eqnarray*} 1 + ( n + 1 ) = -3n \end{eqnarray*}$

gelandet. Und da häng ich nun eben fest weil ich nicht so genau weiß wie ich weiter vorgehen soll...

13.10.2006, 22:53

Splieth

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@sqrt(2)

Naja, wie oben gesagt, beweisen/wiederlegen ist die Aufgabenstellung Augenzwinkern

14.10.2006, 00:01

Abakus

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Zitat:

Original von Splieth
Naja, wie oben gesagt, beweisen/wiederlegen ist die Aufgabenstellung Augenzwinkern

Mit dem Posting von sqrt(2) siehst du es: es gibt eine Widerlegung.

Grüße Abakus smile

14.10.2006, 00:46

sqrt(2)

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Dass die Aussage falsch ist, kannst du auch daran sehen, dass dein Induktionsschritt auf eine falsche Aussage führt (vorausgesetzt, du führst den Induktionsschritt richtig durch, was du mir hier nicht zu machen scheinst). Eine Implikation ist nur falsch, wenn du aus etwas Wahrem etwas Falsches folgerst. Es gibt also mindestens ein $\begin{eqnarray*} A(n+1) \end{eqnarray*}$ , das falsch ist.

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