Rotationskörper zwischen Geraden

16.01.2010, 22:24

Krümelmoonster

Rotationskörper zwischen Geraden

Hallo!

Ich habe mal eine dringende Frage.
Ich muss das volumen eines Körpers berechnen, der um die x-Achse rotiert und durch die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{2} + \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ oben und die Gerade g(x)= x im Intervall $\begin{eqnarray*} 1 \leq x \leq k \end{eqnarray*}$ begrenzt wird.

K soll ich so berechnen, dass das Volumen des Rotationkörpers genau $\begin{eqnarray*} \frac{342}{5} \pi \end{eqnarray*}$ ergibt.

Ich weiß, dass ich dieses angegeben Volumen gleichsetzen muss mit dem Volumen des Rotationskörpers bei dem die obere INtervallgrenze x = k ist.

Nur ist mein Problem, dass da ständig rießen Zahlen rauskommen oder k nicht zu bestimme ist.

Deshalb ist jetzt meine Frage, wie ich das Volumen berechnen soll. Die allgemeine Formel für Rotationskörper kenne ich, nur weiß ich nicht wie ich es in dem Fall tun soll.
Stimmt es so: $\begin{eqnarray*} \pi \int_1^k \! (f(x)^2)- (g(x)^2) \, \end{eqnarray*}$ ?

Dann müsste ich ja $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ [[ $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}1^{2} + \frac{3}{2})^2 - \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2}k^{2} + \frac{3}{2})^2 \end{eqnarray*}$ ] - [ $\begin{eqnarray*} k^{2} - 1 \end{eqnarray*}$ ]] = $\begin{eqnarray*} \frac{342}{5} \pi \end{eqnarray*}$ rechnen, oder?

Stimmt das, oder muss dei Funktion mit jew. einmel k und einmal 1 zuerst voneinander abgezogen, dann potenziert und dann erst die beiden unterschiedlichen Funktionen voneinander abgezogen werden??
Ich rechne wirklich schon lange dranrum und komme auf keinen Grünen Zweig...

16.01.2010, 22:46

Q-fLaDeN

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Die Funktion, die letztendlich um die x-Achse rotiert heißt h(x) und dieses h(x) setzt sich zusammen aus f(x) und g(x).

D.h. das Rotationsvolumen ist

$\begin{eqnarray*} V = \pi~\int_1^k~(h(x))^2~\dd x = \pi~\int_1^k~(f(x)-g(x))^2~\dd x = \pi~\int_1^k~(\frac 1 2 x^2+\frac 3 2 - x)^2~\dd x = \frac{342}{5}\pi \end{eqnarray*}$

17.01.2010, 15:03

Krümelmoonster

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Vielen vielen Dank für die schnelle Antwort!
Aber: Moment, nein! Bin mir nicht ganz sicher ob der Lösungsweg so stimmt...

In unserem Mathebuch steht, dass bei einem Rotationskörper zwischen zwei Graphen, die Formel zur Berechnung nicht $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (f(x) - g(x))^2 \, dx \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (f(x))^2 - (g(x))^2 \, dx \end{eqnarray*}$ ist.
Somit kommt man auf
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{9}{4}-x^{2} ) \, dx \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (\frac{1}{4}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{4} ) \, dx \end{eqnarray*}$ .

Muss ich davon nun aber noch die Stammfunktion benutzen oder nicht, sondern einfach nur noch obere und untere Grenze einfügen?!

Und dann das ganze gleich $\begin{eqnarray*} \frac{342}{5} \pi \end{eqnarray*}$ setzen und nach k auflösen, stimmt das?
Könnte mir jemand vielleicht bitte noch ein bisschen weiterhelfen?

17.01.2010, 15:15

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Krümelmoonster
In unserem Mathebuch steht, dass bei einem Rotationskörper zwischen zwei Graphen, die Formel zur Berechnung nicht $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (f(x) - g(x))^2 \, dx \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (f(x))^2 - (g(x))^2 \, dx \end{eqnarray*}$ ist.

Stimmt natürlich Forum Kloppe

Sorry für die Fehlinformation, war wohl schon ein wenig zu spät gestern.

Das heißt wir haben

$\begin{eqnarray*} \pi \int_1^k~(\frac 1 2 x^2+\frac 3 2)^2-x^2~\dd x = \frac{\pi}{4} \int_1^k~(x^2+3)^2-4x^2~\dd x =\frac{\pi}{4} \int_1^k~x^4+2x^2+9~\dd x = \frac{342}{5}\pi \end{eqnarray*}$

Das ist dann einfach das zu lösende Integral. Falls du Schwierigkeiten dabei hast, zeig mal deinen Rechenweg.

17.01.2010, 15:23

Krümelmoonster

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Danke, danke nochmals smile

Wenn ich die Funktion mal 4 nehme, bekomme ich das raus, was du geschireben hast, das stimmt.
Warum muss ich die andere Seite, die $\begin{eqnarray*} \frac{342}{5} \pi \end{eqnarray*}$ dann nicht auch mal 4 nehmen?

17.01.2010, 16:17

Q-fLaDeN

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Ich hab hier nichts mit 4 multipliziert. Ich habe lediglich 1/4 vor das Integral gezogen, damit das ganze besser aussieht und zu Hand haben ist.

17.01.2010, 16:37

Krümelmoonster

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Stimmt!
Sorry, hab ich iwie gar nicht bemerkt...
Nochmals vielen vielen Dank dir, Q-fLaDeN für deine Hilfe!!

Dann kann ich ja die pi auf beiden Seiten streichen und das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ auf die andere Seite bringen. SO komme ich dann auf $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! x^4+2x^2 + 9 \, dx = \frac{342}{5} * 4 \end{eqnarray*}$ , Aufleiten und ich komme auf $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{1}{4}x^5 + x^3 + 9x \right] 1 k \end{eqnarray*}$ und dann habe ich aber am Ende {1}{4}k^5 + k^3 + 9k - 273.6 = 0

Wie kann ich dann nach k auflösen?!

PS Selbst wenn ich nicht aufleite (falls iich das nicht sol?!?! habe ich drei k (k hoch5 hoch 3 hoch 1 und eine normale zahl) - und ich habe im Moment irgendwie keine Ahnung wie ich das machen soll !?

17.01.2010, 16:49

Q-fLaDeN

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Deine Stammfunktion ist falsch. Außerdem hast du anscheinend die untere Grenze ignoriert.

17.01.2010, 18:15

Krümelmoonster

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oh, stimmt...

ist natürlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} x^{5} + \frac{2}{3} x^{3} + 9 x \end{eqnarray*}$ . Und dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} k^{5} + \frac{2}{3} k^{3} + 9 x \end{eqnarray*}$ - ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} 1^{5} + \frac{2}{3}1^{3} + 9 \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} k^{5} + \frac{2}{3} k^{3} + 9 x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - \frac{148}{15} \end{eqnarray*}$ .
Aber das ändert ja ichts an der Tatsache dass ich dann 3 ks habe und im Moment nicht weiß, wie ich außer Mitternachtsformel nach k auflösen soll...

Könntest du mir da bitte weiterhelfen?

17.01.2010, 18:46

Q-fLaDeN

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Ok, wir haben also

$\begin{eqnarray*} k^{5} + \frac{10}{3} k^{3} + 45k- \frac{4252}{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Das Auflösen nach k ist hier das Problem. Lässt man sich die Funktion zeichnen, sieht man eine schöne (die einzige) Nullstelle. Um die Nullstellen zu berechnen, gibt es nun zwei Möglichkeiten.

Entweder man bedient sich einem Näherungsverfahren, wie z. B. dem Newton-Verfahren, wobei dieses bei dieser Funktion wahrscheinlich auch ein wenig dauern wird und man ewig rumrechnen muss, oder man probiert einfach ein paar Werte für k aus. Sagen wir mal $\begin{eqnarray*} k \in [-5;5] \end{eqnarray*}$
Dazu ist ein Taschenrechner mit Wertetabellenfunktion natürlich von Vorteil.

17.01.2010, 19:06

Krümelmoonster

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oh oh.
dass ich da nicht drangedacht habe!

vielen vielen dank smile

jetzt passt alles.
ielen dank!

17.01.2010, 19:09

Q-fLaDeN

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Was haste denn dann raus?

17.01.2010, 19:18

Krümelmoonster

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mei GTR zeichnet da- warum auch immer- einen senkrechten strich runter, muss wohl noch das window nachkorrigieren.
für f(x) = 0 ist x = 4.

17.01.2010, 19:29

Krümelmoonster

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stimmt das?

17.01.2010, 19:43

Q-fLaDeN

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Richtig, also k = 4.

Der senkrechte Strich kommt daher, dass die Funktion in diesem Bereich extrem stark monoton steigend ist. Du kannst ja mal f'(4) berechnen, wenn du lustig bist.

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