2arctan(sqrt [1+x]) als Stammfunktion von 1/[(2+x)*sqrt[1+x]]

17.01.2010, 05:49	KT	Auf diesen Beitrag antworten »
*2arctan(sqrt [1+x]) als Stammfunktion von 1/[(2+x)sqrt[1+x]]** Und schon wieder habe ich eine Frage und schon wieder wird wild integriert: Die Funktion 1/[(2+x)sqrt[1+x]] bzw. [(2+x)sqrt[1+x]]^-1 soll integriert werden. Das Ergebnis kenne ich schon, es ist eine Umkehrung der Ableitung einer Arkusfunktion: y = arctan x -> dy/dx = 1/(x^2 + 1) - kann man ja in jeder Formelsammlung finden. In diesem Fall lautet die Stammfunktion: 2 arctan(sqrt[1+x]). Das ist ja alles gut und schön, aber ich kriege den ganzen Rechenweg einfach nicht hin. Ich habe alles schon vor- und rückwärts substituiert. Ich weiß, dass ich vor dem endgültigen integrieren vor dem Integral eine 2 stehen haben muss und im unteren Term x+2 (denn x+2 = x+1+1 und wenn die Wurzel aus x+1 quadriert wird, bleibt x+1. Ich komme nur einfach nicht dahinter, wie ich dorthin komme. Wenn ich 2+x substituiere, dann nützt mir das gar nichts, denn die Ableitung davon ist 1 und damit kann ich nichts ím unteren Term eliminieren. Wenn ich die Wurzel aus 1+x substituiere, habe ich da 1/2(1+x)^-1/2dz stehen. Das nützt mir auch nichts, denn zum einen ist der Wurzelterm dann im z "versteckt" und zum anderen kann ich damit auch nichts bei 2+x bewirken... Oder aber, was eher wahrscheinlich ist, ich steh total auf dem Schlauch... HELP!! Also hier nochmal die das Integral: $\begin{eqnarray} \int\! \frac{1}{\left(2+x\right)\sqrt{1+x} } \, dx \end{eqnarray}$ Und hier die Lösung: $\begin{eqnarray} 2arctan \left(\sqrt{1+x} \right)+C \end{eqnarray*}$ Ich will's einfach verstehen!
17.01.2010, 06:45	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: 2arctan(sqrt [1+x]) als Stammfunktion von 1/[(2+x)sqrt[1+x]]** Substitution $\begin{eqnarray} u=\sqrt{1+x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{du}{\dx}=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}=\frac{1}{2u} \end{eqnarray}$ Damit führst du das Integral auf die Form $\begin{eqnarray} 2\int\! \frac{1}{\left(1+u^2\right) } \, du \end{eqnarray}$ was dir sehr bekannt vorkommen dürfte.
17.01.2010, 18:05	KT	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich habe das jetzt nochmal durchgespielt und bin zu folgender Schlussfolgerung gekommen: Ich substituiere $\begin{eqnarray} \sqrt{1+x} \end{eqnarray}$ , leite ab auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{2(1+x)^{\frac{1}{2}}} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2u} \end{eqnarray}$ und löse das ganze nach dx auf: $\begin{eqnarray} \dx=2udu \end{eqnarray}$ Eingesetzt ins Integral sieht das dann so aus: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{(2+x)u}2udu \end{eqnarray}$ Die 2 kann ich vor das Integral ziehen, u kürzt sich raus: $\begin{eqnarray} 2\int \! \frac{1}{2+x}du \end{eqnarray}$ Jetzt die Stammfunktion bilden: $\begin{eqnarray} 2arctan(\sqrt{1+x}) \end{eqnarray*}$ . du fällt ja raus. Schönes Ding.
17.01.2010, 18:10	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst nicht integrieren, wenn du die Funktion gemischt mit x und u hast. Beim Schritt $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{(2+x)u}2udu \end{eqnarray}$ muss du auch x ersetzen. Wenn $\begin{eqnarray} u=\sqrt{1+x} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} x=u^2-1 \end{eqnarray}$ Erst dann darfst du integrieren und im Ergebnis deines Integrals u durch $\begin{eqnarray} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ ersetzen.
17.01.2010, 18:11	KT	Auf diesen Beitrag antworten »
Quatsch Quatsch Quatsch! Ich kann doch nicht nach x aufleiten, wenn ich hinterm Integral du stehen hab... Schade, ich dachte ich hätt's jetzt.
17.01.2010, 18:13	KT	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Sack mit den Münzen ist mir soeben auf den Fuss gefallen. DAAAANKE!!
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