Rekursionsgleichung, erzeugende Funktion bestimmen

17.01.2010, 10:31

Blackbird1987

Rekursionsgleichung, erzeugende Funktion bestimmen

Huhu habe mal eine Frage ich habe die Rekursionsgleichung
$\begin{eqnarray*} a_{n} = 2a_{n-1}-2a_{n-3}+a_{n-4} \end{eqnarray*}$ gegeben und zusätzlich weiß ich, dass a0=a1=2 und a2=a3=6 ist.

Jetzt soll ich die erzeugende Funktion a(x) von an bestimmen. Leider komme ich nur so weit:

$\begin{eqnarray*} 16+x^{4} \sum\limits_{n\geq 0} 2a_{n+3}x^{n} -x^{4}*\sum\limits_{n\geq 0} 2a_{n+1}x^{n} +x^{4}*A(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich aber nicht was ich aus den beiden ersten Summenzeichen machen soll. Mein Ansatz lautete

A(x)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n\geq 0} a_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$

Wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.

Liebe Grüße
Manuela

17.01.2010, 13:06

tmo

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Die Folge ist übrigens durch $\begin{eqnarray*} a_{2n+1}=a_{2n}=4n+2 \end{eqnarray*}$ explizit dargestellt.

Oder auch $\begin{eqnarray*} a_n = 4 \lfloor \frac{n}{2} \rfloor +2 \end{eqnarray*}$

Und es gibt sogar eine Darstellung der Form $\begin{eqnarray*} a_n = (an+b)+c(-1)^n \end{eqnarray*}$ , mit deren Hilfe die erzeugende Funktion schnell gefunden ist.

17.01.2010, 14:00

Blackbird1987

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Hey

Bloß wie komm ich daran? An diese Darstellung. Wir sollen uns die erzeugende Funktion ja selber über dieses Schema wie ich es versucht habe erarbeiten. Bloß le
Wie kommt man denn an diese FUnktionen die du da geschrieben hattest steh da irgendwie auffer Leitung wie man damit weiter arbeiten kann.

Wäre super wenn du mir da noch weiter helfen könntest.

LG Manuelaider komm ich da halt nicht weiter wie ich ja s chon geschrieben hatte.

Wie kommt man denn an diese FUnktionen die du da geschrieben hattest steh da irgendwie auffer Leitung wie man damit weiter arbeiten kann.

Wäre super wenn du mir da noch weiter helfen könntest.

LG Manuela

17.01.2010, 14:23

tmo

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Zitat:

Original von Blackbird1987
Bloß wie komm ich daran? An diese Darstellung.

Berechne doch einfach mal $\begin{eqnarray*} a_4 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} a_7 \end{eqnarray*}$ , dann kommt man schnell selber drauf, wie die Folge aussieht. Beweis dann zur Not mit Induktion.

Wenn du allerdings unbedingt nach Schema F vorgehen willst, ist der Ansatz folgender:

$\begin{eqnarray*} A(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a_nx^n = 2xa_{n-1}x^{n-1} -2x^3a_{n-3}x^{n-3}+x^4a_{n-4}x^{n-4} \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=4}^\infty a_nx^n = 2x\sum_{n=4}^\infty a_{n-1}x^{n-1} - 2x^3\sum_{n=4}^\infty a_{n-3}x^{n-3} + x^4\sum_{n=4}^\infty a_{n-4}x^{n-4} \end{eqnarray*}$

Nun die einzelnen Summanden so auf die geeignete Form bringen:

$\begin{eqnarray*} 2x\sum_{n=4}^\infty a_{n-1}x^{n-1} = 2x \sum_{n=3}^\infty a_nx^n = 2x \left(A(x)-\sum_{n=0}^2 a_nx^n\right) \end{eqnarray*}$

17.01.2010, 17:22

Blackbird1987

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Hey ja so wollte ich das machen hatten das so gezeigt bekommen und deswegen wollte ich es dann auch so durchführen.

Kann ich dann jetzt wenn ich die Summanden auf die geeignete Form bringe einfach die Werte die ich gegeben habe für a0 bis a3 einsetzen und weiter ausrechen?

Also im Fall des ersten Summanden das dann weiterführen auf :

$\begin{eqnarray*} 2x*(A(x)-(1+2x+6x^{6})) \end{eqnarray*}$

Auf jeden Fall schonmal ganz herzlichen Dank für die schnelle Antwort jetzt hab ich wenigstens nen Ansatz wie ich weitermachen kann irgendwie fehlte mir da das Verständnis, auf die Idee zu kommen die Summanden so weiter zu vereinfachen bzw so auf diese Form zu bringen.

Liebe Grüße
Manuela

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