43. MO 3.Stufe Aufgabe |
| 17.01.2010, 11:19 | mathe760 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| 43. MO 3.Stufe Aufgabe ich habe nun nach langer Zeit wieder Probleme bei folgender Aufgabe: 431035 Die Zielscheibe fur ein Pfeilwurfspiel ist ein Kreis aus 12 gleich großen Sektoren, auf welche die naturlichen Zahlen 1 bis 12 verteilt sind. Damit der Arger beim Verwerfen groß ist, ist die Diff erenz der Zahlen zweier benachbarter Sektoren groß. a) Ermitteln Sie, wie groß die Summe der Betrage aller 12 Di erenzen der Zahlen benachbarter Sektoren maximal werden kann. b) Wie viele verschiedene Zielscheiben mit dieser maximalen Summe gibt es? Hinweis: Zielscheiben, die durch Drehung ineinander uberfuhrt werden konnen, gelten nichtals verschieden. Ich habe ausser probieren keinen richtigen Ansatz, es wäre also sehr nett wenn ihr mir einen kleinen Tipp geben könntet 
Bis denn mathe760 
\Edit: Sorry ist versehentlich in Hochschulmathematik gelandet, bitte verschieben. |
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| 17.01.2010, 15:37 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gegeben sei ein solcher Kreis mit einer beliebigen Anordnung der Sektoren. Die Summe der Beträge der Differenzen sei S. Wir nennen einen Sektor "groß", wenn er Nachbar zweier Sektoren mit kleineren Zahlen ist. Wir nennen einen Sektor "klein", wenn er Nachbar zweier Sektoren mit größeren Zahlen ist. Im dritten Fall (einen größeren Nachbar und einen kleineren Nachbar) nennen wir den Sektor "mittel". Nun seien die Sektoren so angeordnet, dass es gar keine mittleren Sektoren gibt und die Zahlen 1 bis 6 in kleinen und die Zahlen 7-12 in großen Sektoren stehen. Nun stellen wir fest, dass S invariant gegenüber dem vertauschen zweier großer oder zweier kleiner Sektoren ist. Wenn man aber einen großen mit einem kleinen Sektor vertauscht, so wird S kleiner. Und dabei entstehen entweder mittlere Sektoren oder der Große wird zum Kleinen und andersrum Was folgt daraus für den Fall S maximal? |
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| 17.01.2010, 15:45 | mathe760 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vielen Dank, ich habe mir schon was mit Invarianz gedacht
Dann mache ich mich mal ran 
Bis denn mathe760
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| 17.01.2010, 16:42 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Meine Überlegungen waren übrigens noch nicht ganz ausgereift. Es gibt noch mehr zu beachten als ich erst vermutet habe. Ich habe meine Antwort mal entsprechend editiert. |
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| 17.01.2010, 16:48 | mathe760 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Folgt daraus dann schon, dass es keine mittleren Sektoren geben darf? Wenn ja, dann müssen die Zahlen so angeordnet sein, wie oben beschrieben. 1-6 sind klein und 7-12 groß. Durch ausprobieren komme ich dann auf S=72, ich müsste dies aber noch beweisen. Ist die Folgerung, dass es keine mittleren Sektoren geben darf denn überhaupt richtig? Muss man nicht noch untersuchen was passiert, wenn man eine gegebene Anordnung hat mit mindestens einem mittlerem Sektor, und man nun einen kleinen/großen mit einem mittleren, bzw. einen mttleren mit einem mittleren vertauscht. Ich denke dies ist richtig, würde aber ganz gerne eine Bestätgung bekommen. Bis denn mathe760
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| 17.01.2010, 17:07 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also klar ist: Wenn es keine mittleren Sektoren gibt, so wird S am größten, wenn 1-6 kleine Sektoren sind und 7-12 große Sektoren sind. Denn wenn z.b. die 6 ein großer Sektor ist und die 7 ein kleiner Sektor, so vertauscht man einfach die 6 und die 7 und erhält dadurch ein größeres S. D.h. die Anordnung 12 - 1 - 11 - 2 - 10 - 3 - 9 - 4 - 8 - 5 - 7 - 6 ist maximal unter allen Anordnungen ohne mittleren Sektor und für diese Anordnung ergibt sich S=72. Nun ist nur noch zu zeigen, dass wenn es mittlere Sektoren gibt (es gibt ja davon entweder 0 oder mindestens 2), so ist . Nimm dazu mal einen Kreis mit 10 Sektoren, der nur große und kleine Sektoren besitzt, und füge 2 Sektoren irgendwo ein, sodass diese 2 Sektoren mittlere Sektoren sind. Dann fällt dir was auf 
edit: Tippfehler verbessert. Dank an Abakus, der mich darauf hingewiesen hat. |
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| 19.01.2010, 19:50 | mathe760 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich habe mich mal daran gemacht, die aufgabe wenigstens teilweise zu lösen. Wenn ich deinem Tipp folge, dann kann ich einen Kreis mit 10 Zahlen konstruieren, mit der Summe S=50 ausserdem kann die Summe die dazu kommt durch die zwei zahlen höchstens 22 sein. Es gibt nun aber z.B. auch Konstellationen mit 10 Zahlen, wo S=54... Wie kann ich das jetzt Allgemein zeigen? Bitte nicht zu viele Tipps, die Aufgabe darf sonst auch länger ungelöst liegen bleiben
.Bis denn mathe760
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| 19.01.2010, 22:45 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie gesagt: Betrachte mal die mittleren Sektoren genauer. Z.b. sei eine Anordnung der Art .... - K - M - G - .... gegeben. D.h. ein kleiner Sektor, daneben ein mittlerer und daneben dann ein großer. Jetzt nimm mal den mittleren Sektor raus. |
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| 20.01.2010, 16:37 | mathe760 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ok da habe ich whl etwas langsam gedacht 
.Die Summe bleibt invariant, wenn ich eine Anordnung habe nur mit kleinen und großen Sektoren, so kann ich beliebig viele Mittelsektoren zwischen je einem kleinen und einem großen Sektor einfügen. Damit kann diese Summe 72 nicht überschreiten, und der Beweis ist erbracht. Oder? Bs denn mathe760
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| 20.01.2010, 19:28 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nunja, nicht ganz. Was jetzt gezeigt ist: Wenn wir mittlere Sektoren haben, kann man diese einfach entfernen, bis man nur noch kleine und große Sektoren hat. Dabei ändert sich die Summe nicht. Dann hat man einen Kreis mit Sektoren, die alle klein oder groß und von 1-12 beschriftet sind (wobei natürlich nicht alle Zahlen vorkommen). Dass die Summe eines solchen Kreises 72 nicht überschreiten kann, ist noch zu zeigen. Aber das ist relativ leicht. |
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| 20.01.2010, 19:53 | mathe760 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nun gut, angenommen man hat eine derartige Anordnung der Zahlen 1-12 mit der Summe S=72, die nur kleine und große Sektoren enthält. Man kann sich nun leicht davon überzeugen, dass 2 kleine bzw. große nicht nebeneinanderstehen können. Die Anordnung sieht also so aus: K-G-K-G-.... Nimmt man jetzt eine der "K-G -Gruppen" heraus, so sieht man, dass die Summe gleich bleibt. Damit ist gezeigt, dass es keine Anordnung von 10 Zahlen mit nur kleinen und großen Sektoren gibt mit einer Summe die größer ist als 72. Zusammen mit den vorigen Beitragen wäre a) nun bewiesen. Ich werde mich dann an der b) versuchen. Bis denn mathe760
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| 09.02.2010, 20:02 | mathe760 | Auf diesen Beitrag antworten » |
War mein Beweis für a) denn nun richtig? Ich hatte in letzter Zeit leider nur sehr wenig Zeit, sodass ich nicht dazu gekommen bin b) zu rechnen, ich werde sie hier aber bald mal posten. Bis denn mathe760
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