Herleitung der Formel (Abstand windschiefer Geraden)

11.06.2004, 14:20	maxxchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung der Formel (Abstand windschiefer Geraden) Hi, die Formel um den Abstand (den kürzesten) windschiefer Geraden zu berechnen wurde mir so beigebracht: $\begin{align} d(g1;g2)=\frac{\|(\alpha1\times\alpha2)\gamma\|}{\|\alpha1\times\alpha2\|} \end{align}$ wobei $\begin{align} \alpha1 \end{align}$ = Richtungsvektor der Gerade 1 $\begin{align} \alpha2 \end{align}$ = Richtungsvektor der Gerade 2 und $\begin{align} \gamma \end{align*}$ = Vektor (Strecke) zweier, je auf einer Geraden liegender, Punkte ist. Kann mir jemand erklären wie man darauf kommt?
11.06.2004, 14:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier geht es um die Plückersche Form einer Geradengleichung im R³. Vielleicht googlest du einmal ein bißchen unter diesem Stichwort.
11.06.2004, 14:54	maxxchen	Auf diesen Beitrag antworten »
gegoogelt - kein Erfolg ich habe mich mal etwas umgesehen, aber keine wirkliche Erklärung für diese Formel gefunden.
11.06.2004, 16:23	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese praktische Formel beruht darauf, dass man einen beliebigen Vektor P1P2 nehmen kann, wobei P1 auf g und P2 auf h liegt und diesen skalar mit dem normierten Normalvektor No der beiden Richtungsvekoren von g und h multipliziert. Der Betrag dieses skalaren Produktes ist bereits der gesuchte Normalabstand, weil es die Länge der Projektion des Vektors auf den normierten Normalvektor darstellt. Der Normalvektor der beiden Geraden (d.i. die Richtung des Gemeinlotes) ist: $\begin{align} \vec{N}=(\alpha_1\times\alpha_2) \end{align}$ , der normierte (mit der Länge 1) $\begin{align} \vec{N_0} = \frac{\alpha_1\times\alpha_2)}{\|\alpha_1\times\alpha_2\|} \end{align}$ Der Betrag des skalaren Produktes des Vektors $\begin{align} \vec{N_0} \end{align}$ mit $\begin{align} \vec{\gamma} \end{align}$ ist die Länge der Normalprojektion dieses Vektors $\begin{align} \vec{\gamma} \end{align}$ auf $\begin{align} \vec{N_0} \end{align}$ und somit bereits die gesuchte Distanz. Dies beruht auf der Tatsache, dass das skalare Produkt zweier Vektoren geometrisch der Betrag des einen mal der Länge der Normalprojektion des anderen Vekrors auf diesen ist und der Betrag von $\begin{align} \vec{N_0} \end{align}$ ja gleich 1 ist. Gr mYthos
11.06.2004, 16:33	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ich habe es noch ein wenig anders als Mythos aufgeschrieben, um einen Bezug zur Hesseschen Normalform herzustellen. Es sei $\begin{align} E_1 \end{align}$ die Ebene, die die Gerade $\begin{align} g_1 \end{align}$ enthält und von den Richtungsvektoren $\begin{align} \vec{u_1} , \vec{u_2} \end{align}$ aufgespannt wird. Dann ist $\begin{align} \vec{u_1} \times \vec{u_2} \end{align}$ ein Normalenvektor und $\begin{align} A_1 \end{align}$ ein Punkt dieser Ebene. Sie hat also die Hessesche Normalform $\begin{align} E_1: \ \ \ \frac{\vec{u_1} \times \vec{u_2}}{\\|\vec{u_1} \times \vec{u_2}\\|} \cdot (\vec{x}-\vec{a_1}) \ = \ 0 \end{align}$ wobei $\begin{align} \vec{a_1} \end{align}$ Ortsvektor von $\begin{align} A_1 \end{align}$ ist und der Malpunkt das Skalarprodukt bezeichnet. Der gesuchte Abstand $\begin{align} d(g_1,g_2) \end{align}$ der beiden Geraden ist dann nichts anderes als der Abstand eines beliebigen Punktes $\begin{align} A_2 \end{align}$ der Geraden $\begin{align} g_2 \end{align}$ von $\begin{align} E_1 \end{align}$ . Ist also $\begin{align} \vec{a_2} \end{align}$ der zugehörige Ortsvektor, so gilt $\begin{align} d(g_1,g_2) \ = \ \frac{\\|(\vec{u_1} \times \vec{u_2}) \cdot (\vec{a_2}-\vec{a_1})\\|}{\\|\vec{u_1} \times \vec{u_2}\\|} \end{align}$
11.06.2004, 17:07	maxxchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Spitze! Super Erklärung und danke für die Graphik. Ich denke ich habs begriffen. Gruß Maxx
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